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Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial

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Enunciado

UFSCAR, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de Estudo Cálculo 3 - UFSCAR - Lista de Integrais de Superfície, Questão 8

Seja S o gráfico de f ( x ,   y )   =   x 2   +   y 2 ,   x 2   +   y 2   ≤   1 e n a normal a s com componente z   ≤   0 . Seja   F ⃗ ( x ,   y ,   z )   =   x 2 y i ⃗   −   x y 2 j ⃗   +   k ⃗ . Calcule ∫ ∫ S   F ⃗   ∙   n ⃗ d S .

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de cálculo 3, nosso objetivo é calcular

∫ ∫ S   F ⃗   ∙   n ⃗ d S .

Sabendo que f ( x ,   y )   =   x 2   +   y 2 ,   x 2   +   y 2   ≤   1 e n a normal a s com componente z   ≤   0 . Seja   F ⃗ ( x ,   y ,   z )   =   x 2 y i ⃗   −   x y 2 j ⃗   +   k ⃗

Bem, vamos lá. Primeiro, temos que

S o gráfico de f ( x ,   y )   =   x 2   +   y 2 ,   x 2   +   y 2   ≤   1

Vamos começar construindo a nossa função G ( x , y , z ) = 0 . Podemos construir ela da seguinte forma

G ( x , y , z ) = x 2 + y 2 - z

E temos que

∇ G   =   2 x i + 2 y j - k

Passo 2

Vamos obter nosso domínio S . Como x 2   +   y 2   ≤   1 . Então

- 1 ≤ x ≤ 1   e   - 1 - x 2 ≤ y ≤ 1 - x 2

Dessa forma, temos que

∫ ∫ S   F ⃗   ∙   n ⃗ d S

∫ - 1 1 ∫ 1 - x 2 - 1 - x 2   F ⃗   ∙   ∇ G d S

= ∫ - 1 1 ∫ 1 - x 2 - 1 - x 2 2 x 3 y - 2 x y 3 - 1 d y d x

integrando em y temos:

∫ - 1 1 - 2 1 + x 2 d x

Ms essa integral já é conhecida, ela é:

- x 2 + 1 x - s i n h - 1 ( x ) | x = 1 x = - 1

= - 2 ( 2 - s i n h - 1 ( 1 ) )

Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

Desenvolvimento acima

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