USP, Sem Campus, Cálculo 3, lista 3 - 2022.1, Questão 5b
Calcule a integral de superfície para cada um dos campos de vetores e superfícies orientadas indicadas abaixo. Em outras palavras, calcule o fluxo de através de . Quando é uma superfície fechada, admita que está orientada pela normal exterior.
e é a parte do plano interior ao cilindro , orientada de modo que seu vetor normal é ;
Passo 1
Eaí galera, como vocês estão?
Nessa questão precisamos calcular uma integral de superfície no caso vetorial.
No caso desse item temos a função vetorial:
Além disso, a superfície é dada pela parte do plano interior ao cilindro . Uma informação extra dada nesse item que nos ajuda bastante, é que a normal à superfície é dada por:
Vocês lembram a receita do bolo pra calcular esse tipo de integral?
Hahaha! Então bora dar uma revisada nos passos!
Imagina que temos que calcular:
Parametrizar a superfície
Escrever a função como função da parametrização
Calcular o vetor normal à superfície, usando que:
Montar a integral:
Resolver como uma integral dupla normal!
Show de bola gente! Essa é a receitinha de bolo pra gente matar qualquer integral de superfície no caso vetorial.
Passo 2
Massa! Vamos começar a nossa receita de bolo 😊.
Parametrizar a superfície
Vamos usar a própria parametrização explícita, já que na equação de um plano conseguimos isolar uma das variáveis em função das outras.
Assim:
Ainda não conseguimos definir os intervalos de variação de e em . Mas, podemos fazer isso mais pra frente, então vamos prosseguir 😊
Escrever a função como função da parametrização
Bom, aqui vamos escrever a nossa função em função apenas dos parâmetros e .
Trocando por , temos:
Perfeito!
Calcular o vetor normal à superfície:
Bom, a notícia boa é que o enunciado já nos deu o vetor normal unitário. Temos:
Mas, para montar a integral conforme mostramos no passo , temos que usar o vetor normal, e não o vetor normal unitário. Por isso, vamos multiplicar o vetor dado pelo seu módulo:
Boa 😊
Montar a integral:
Vamos reunir os dados que já conseguimos pra montar a integral do lado direito
Fazendo o produto escalar que apareceu dentro da integral, vamos ter:
Substituindo na integral, vamos ter:
Perfeito! Nossa missão é resolver essa integral!
Passo 3
Precisamos resolver a integral:
Mas, não conhecemos o intervalo de variação de e de em . Como é limitada por um cilindro, precisaremos fazer uma mudança de variáveis pras coordenadas cilíndricas.
Como o cilindro que limita é dado por:
Logo:
Mas, essa é a limitação para o raio . Portanto:
Além disso:
Precisamos também calcular o Jacobiano, já que fizemos uma mudança de variáveis na integral dupla.
Assim, vamos ter a integral:
Daí, vamos ter:
Usando que:
Temos:
Prontinho pessoal!
Curtiram a solução? Responde Aí!