UFPE, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de Exercícios de Cálculo 3 - Profº Cilon Perusato - Lista 3, Questão 6b
Questão 6. Calcule as seguintes integrais de superfícies.
(b) , é a superfície , , .
Passo 1
Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎
Nosso objetivo nesse problema é obter a integral de superfície dada por onde é a superfície com e .
Tem ideia do que fazer? 😐
Nesses casos, podemos usar uma regrinha que diz
Onde é o vetor normal de
E aí, melhorou? 🤔
Passo 2
No caso, e
Dessa forma, vamos obter que será dado por
Calculando o módulo vetor normal , temos
Pelo método de derivação polinomial, temos
Ou seja
Substituindo na integral...
Podemos definir a partir da informação de que nossa superfície de interesse está entre e .
Tranquilo até aqui? 😉
Passo 3
Definindo os limites de integração, temos
Pelo método de substituição fazendo e ...
Voltando para e aplicando os limites de integração
Com isso, até agora temos
Bacana, não é? 😁
Passo 4
Como temos o produto entre duas funções de , podemos aplicar o método de integração por partes
Para a primeira integral, fazemos e , assim e
Pulando o cálculo dessa integral, vamos chegar em
Aplicando os limites de integração, temos
Seguindo os mesmos passos para a próxima integral, vamos chegar em
Aplicando os limites de integração
Estamos quase acabando! 👀
Passo 5
Substituindo esses resultados parciais na equação do problema, vamos obter
Simplificando...
Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁
