USP, Sem Campus, Cálculo 3, lista 3 - 2022.1, Questão 5h
Calcule a integral de superfície para cada um dos campos de vetores e superfícies orientadas S indicadas abaixo. Em outras palavras, calcule o fluxo de através de S. Quando S é uma superfície fechada, admita que S está orientada pela normal exterior.
e S é o retângulo de vértices (1, 0, 1), (1, 0, 0), ( 0, 1, 0), (0, 1, 1), orientado de modo que sua normal satisfaz ;
Passo 1
Eaew, belezinha?
O enunciado nos pede para calcularmos a seguinte integral
em que levamos em consideração o seguinte campo vetorial
E a superfície é o retângulo de vértices (1, 0, 1), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 1, 1), orientado de modo que sua normal satisfaz .
Temos que calcular o fluxo do campo através desse plano! Vamos lá!
Passo 2
Temos que o plano que esse retângulo está contido é dado pela expressão:
Sendo e . A expressão do vetor normal pode ser obtida através do seguinte produto vetorial
em que é uma parametrização da superfície. Escolhemos a seguinte parametrização
.
Vamos calcular as derivadas e o produto vetorial:
.
Assim, obtemos que a normal é:
.
Como , fazemos
.
Passo 3
A integral é tal que
temos que a parametrização foi feita em , portanto . Sendo, 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ 1. Nossa integral se torna então
Resolvendo essa integral simples, temos
então,
A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!