Cálculo - James Stewart - Volume 2 - 7ª Edição – Capítulo 16 – Seção 7 – Exercício 25
(Capítulo 16.7 – Exercício 25) Avalie a integral de superfície para o campo vetorial dado e a superfície orientada . Em outras palavras, localize o fluxo de através de. Para superfícies fechadas, use a orientação (para o exterior) positiva.
“é a parte da esferano primeiro octante, com orientação para a origem.”
Passo 1
Faaaala galera, vamos lá entender direitinho o que temos que fazer nesse exercício
Temos que “é a parte da esferano primeiro octante, com orientação para a origem.”
E aí queremos encontrar o fluxo de através de
O fluxo de um campo é definido como
Onde
Então vamos lá!!
Vamos começar olhando a região de integração. No plano é um quarto de círculo de raio então:
Passo 2
A função é , então o vetor normal é:
E o produto escalar entre esse vetor e o campo é:
Mas sabemos que , então o produto escalar é:
E em coordenadas polares , então temos:
E esse vai ser nosso integrando! Agora é só jogar tudo numa integral dupla e sair calculando! Bora lá?
Passo 3
Temos essa integral:
Como as variáveis são independentes, podemos fazer as duas integrações simultaneamente:
Para integrar em , vou usar a substituição:
Assim:
E os limites? Quando temos que e quando temos que .
Então substituindo temos:
Agora sim podemos resolver as integrais:
Agora vamos aplicar os limites:
E resolver essas últimas multiplicações:
E fim!!