USP, Sem Campus, Cálculo 3, lista 3 - 2022.1, Questão 5f
Calcule a integral de superfície para cada um dos campos de vetores e superfícies orientadas S indicadas abaixo. Em outras palavras, calcule o fluxo de através de S. Quando S é uma superfície fechada, admita que S está orientada pela normal exterior.
e S consiste de parabolóide , 0 ≤ y ≤ 1 e do disco , y = 1;
Passo 1
Eaew, belezinha?
O enunciado nos pede para calcularmos a seguinte integral
em que levamos em consideração o seguinte campo vetorial
e a superfície consiste de paraboloide
, 0 ≤ y ≤ 1
e do disco
, y = 1
Primeiro vamos encontrar o vetor normal dessas superfícies! Vamos lá!
Passo 2
A integral será a soma das integrais em cada superfície. Primeiro vamos olhar para a superfície , 0 ≤ y ≤ 1. A expressão do vetor normal pode ser obtida através do seguinte produto vetorial
em que é uma parametrização da superfície. Escolhemos a seguinte parametrização
.
Vamos calcular as derivadas e o produto vetorial:
.
Assim, obtemos que a normal é:
.
Passo 3
A integral é tal que
temos que a parametrização foi feita em , portanto . Como a superfície é um parabolóide , 0 ≤ y ≤ 1, vamos usar coordenadas polares no plano xz, então , sendo , e . Assim, como em coordenadas polares os limites para e são e . Nossa integral se torna então
Resolvendo as integrais em
Agora resolvendo a integral em
então,
Passo 4
Agora vamos olhar para a superfície , y=1. A expressão do vetor normal pode ser obtida pelo produto vetorial
Escolhemos a seguinte parametrização
.
Vamos calcular as derivadas e o produto vetorial:
.
Assim, obtemos que a normal é:
.
Passo 5
Vamos começar a nossa integração! Saca só!
então a contribuição da superfície 2 é nula.
Assim,
A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!