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Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 3, lista 3 - 2022.1, Questão 5d

Calcule a integral de superfície ∫ ∫ S F → ⋅ N → d σ   para cada um dos campos de vetores F → e superfícies orientadas S indicadas abaixo. Em outras palavras, calcule o fluxo de F → através de S . Quando S é uma superfície fechada, admita que S está orientada pela normal exterior.

d )   F → x , y , z = x i → + y j → + z k → e S é a esfera x 2 + y 2 + z 2 = 9 ;

Passo 1

Ooii gente, tudo certinho por aí?

Nessa questão precisamos calcular uma integral de superfície no caso vetorial.

No caso desse item temos a função vetorial:

F → x , y , z = x i → + y j → + z k →

Além disso, a superfície S é a esfera x 2 + y 2 + z 2 = 9 .

Vocês lembram a receita do bolo pra calcular esse tipo de integral?

Hahaha! Então bora dar uma revisada nos passos!

Imagina que temos que calcular:

∫ ∫ S F → ⋅ N → d σ

1 )   Parametrizar a superfície S

ϕ ( u , v )

2 )   Escrever a função F → ( x , y , z ) como função da parametrização

F → ϕ u , v

3 )   Calcular o vetor normal à superfície, usando que:

N → =   ∂ ϕ ∂ u × ∂ ϕ ∂ v

4 )   Montar a integral:

∫ ∫ S F → ⋅ N → d σ = ∫ ∫ D F → ϕ u , v ⋅ ∂ ϕ ∂ u × ∂ ϕ ∂ v d u d v

5 )   Resolver como uma integral dupla normal!

Show de bola gente! Essa é a receitinha de bolo pra gente matar qualquer integral de superfície no caso vetorial.

Passo 2

Massa! Vamos começar seguindo nossa receita de bolo 😊

1 )   Parametrizar a superfície S

Como S é uma esfera, vamos utilizar a parametrização em coordenadas esféricas.

A equação geral de uma esfera é dada por:

x 2 + y 2 + z 2 = r 2

Como nessa esfera temos:

x 2 + y 2 + z 2 = 9

Vem que:

r = 3

Assim, a parametrização fica:

x = 3 c o s θ s e n α y = 3 s e n θ s e n α z = 3 c o s α

onde 0 ≤ θ ≤ 2 π e 0 ≤ α ≤ π .

Logo:

ϕ θ ,   α = ( 3 c o s θ s e n α ,   3 s e n θ s e n α ,   3 c o s α )

Excelente!

2 )   Escrever a função F → ( x , y , z ) como função da parametrização

Temos:

F → x , y , z = x i → + y j → + z k →

Daí, escrevendo em função de θ e α , vamos ter:

F → ϕ θ , α = 3 c o s θ s e n α ⋅ i → + 3 s e n θ s e n α ⋅ j → + 3 c o s α ⋅ k →

Boaa!!

3 )   Calcular o vetor normal à superfície:

Temos:

ϕ θ ,   α = ( 3 c o s θ s e n α ,   3 s e n θ s e n α ,   3 c o s α )

Passo 3

Escrever passo aqui

Resposta

Escrever só a resposta aqui quando o problema tiver resposta

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