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Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial

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Enunciado

UFU, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de C3 - Profª Laís Rodrigues - 1ª Lista - Integrais de Linha e de Superfície, Questão 15b

Calcule a integral de superfície.

∬ y d S

S é o helicoide com equação vetorial r u , v =   u c o s v i + u s e n v j + v k , 0 ≤ u ≤ 1 ,   0 ≤ v ≤ π

Passo 1

Fala galera, bora resolver o nosso exercício?

Antes da gente começar a calcular, precisamos aqui lembrar que vamos precisar parametrizar a nossa função. E para isso, vamos usar a seguinte relação:

∬ f ( x , y , z ) d S = ∬ f r u , v × r u × r v d u d v

Show? Com isso já temos uma orientação do que vamos precisar fazer na nossa questão. Para começar, vamos calcular a norma da nossa integral.

Passo 2

Começaremos calculando as derivadas parciais:

r u , v =   u c o s v i + u s e n v j + v k

r u = cos ⁡ v i + s e n v j + 0 k

r v = - u s e n v i + u c o s v j + 1 k

Agora vamos calcular o produto escalar:

r u × r v = i j k c o s ⁡ ( v ) s e n ( v ) 0 - u s e n ( v ) u c o s ( v ) 1

r u × r v = s e n v i - cos ⁡ v j + u k

Aplicando a Norma:

r u × r v = s e n 2 v + - c o s v ² + ( u 2 )

r u × r v = 1 + u 2

Substituindo na nossa Integral:

∬ f ( x , y , z ) d S = ∬ f r u , v × r u × r v d u d v

∬ f ( x , y , z ) d S = ∬ u s e n ( v ) × 1 + u 2 d u d v

Passo 3

Agora, vamos aplicar os limites de integração dados no enunciado:

0 ≤ u �� 1

0 ≤ v ≤ π

Logo:

∬ u s e n ( v ) × 1 + u 2 d u d v = ∫ 0 π ∫ 0 1 u s e n ( v ) × 1 + u 2 d u d v

Show, agora basta calcular. Na integral de dentro, estamos integrando em relação a u . Então, tudo que é relacionado a v , vamos tratar como constantes, então:

∫ 0 π ∫ 0 1 u s e n ( v ) × 1 + u 2 d u d v = ∫ 0 π s e n ( v ) ∫ 0 1 u 1 + u 2 d u d v

Show, vamos focar agora somente na integral interna:

∫ 0 1 u 1 + u 2 d u

Para resolver, vamos aplicar uma substituição:

t = 1 + u ²

d t = 2 u d u → d t 2 = u d u

Substituindo:

∫ 0 1 t d t 2   = 1 2 ∫ 0 1 t 1 2 d t   = 1 2 t 3 2 3 2

∫ 0 1 t d t 2   = t 3 2 3 = ( 1 + u 2 3 2 ) 0 1

Aplicando os valores:

( 1 + u 2 3 2 ) 0 1 = 2 3 2 - 1 3 2 = 2 2 - 1

Logo teremos:

∫ 0 π s e n ( v ) ∫ 0 1 u 1 + u 2 d u d v = ∫ 0 π s e n v 2 2 - 1 d v

∫ 0 π s e n ( v ) ∫ 0 1 u 1 + u 2 d u d v = 2 2 - 1 ∫ 0 π s e n v d v

Passo 4

Para finalizarmos, vamos calcular nossa última integral.

2 2 - 1 ∫ 0 π s e n v d v = - 2 2 - 1 ( c o s ⁡ ( v ) ) 0 π

2 2 - 1 ∫ 0 π s e n v d v = - 2 2 - 1 cos ⁡ π - cos ⁡ 0

2 2 - 1 ∫ 0 π s e n v d v = - 2 2 - 1 0 - 1 = 2 2 - 1

Resposta

∬ y d S = ( 2 2 - 1 )

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