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Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial

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Enunciado

UFPE, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de Exercícios de Cálculo 3 - Profº Cilon Perusato - Lista 3, Questão 6c

Questão 6. Calcule as seguintes integrais de superfícies.

(c) ∬ S x 2 y 2 d S , S é a parte do cone z 2 = x 2 + y 2 que está entre os planos z = 1 e z = 3 .

Passo 1

Fala aí, querido!! Tudo certinho? Bora resolver esse probleminha? 😉

Nosso objetivo nesse problema é obter a integral de superfície dada por ∬ S x 2 y 2 d S onde S é a superfície z 2 = x 2 + y 2 com 1 ≤ z ≤ 3 .

Tem ideia do que fazer? 😐

Nesses casos, podemos usar uma regrinha que diz

∬ S f x , y , z d S = ∬ A f x , y , g x , y · N → d A

Onde N → é o vetor normal de z = 1 + 2 x + 3 y

N → = ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 + 1

E aí, melhorou? 🤔

Passo 2

No caso, f x , y , z = x 2 y 2 e g x , y = x 2 + y 2

Dessa forma, vamos obter que f x , y , g x , y será dado por

f x , y , g x , y = x 2 y 2

Calculando o módulo vetor normal N → , temos

N → = ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 + 1

Pelo método de derivação polinomial, temos

∂ z ∂ x = ∂ x 2 + y 2 ∂ x = x x 2 + y 2

∂ z ∂ y = ∂ x 2 + y 2 ∂ y = y x 2 + y 2

Ou seja

N → = x x 2 + y 2 2 + y x 2 + y 2 2 + 1 = x 2 x 2 + y 2 + y 2 x 2 + y 2 + 1

N → = x 2 + y 2 x 2 + y 2 + 1

N → = 2

Substituindo na integral...

∬ S f x , y , z d S = ∬ A f x , y , g x , y · N → d A

∬ S f x , y , z d S = ∬ A x 2 y 2 · 2 d A

Podemos definir d A a partir da informação de que nossa superfície de interesse está entre 1 ≤ z ≤ 3 .

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Definindo os limites de integração, temos

1 2 ≤ x 2 + y 2 ≤ 3 ²

Podemos converter as coordenadas cartesianas em coordenadas polares para facilitar nossa vida, assim, r varia de 1 a 3 e θ de 0 a 2 π

Fazendo x = r cos ⁡ θ e y = r sin ⁡ θ (lembrando de multiplicar a função de integração pelo jacobiano r )

∬ S f x , y , z d S = ∫ 1 3 ∫ 0 2 π r cos ⁡ θ 2 r sin ⁡ θ 2 2 d θ d r

∬ S f x , y , z d S = 2 ∫ 1 3 ∫ 0 2 π r 2 cos 2 ⁡ θ r 2 sin 2 ⁡ θ d θ d r

∬ S f x , y , z d S = 2 ∫ 1 3 ∫ 0 2 π r 2 cos 2 ⁡ θ sin 2 ⁡ θ d θ d r

Integrando com relação a θ aplicando a relações trigonométricas

∫ r 2 cos 2 ⁡ θ sin 2 ⁡ θ d θ = r 2 ∫ 1 - cos ⁡ 4 θ 8 d θ

∫ r 2 cos 2 ⁡ θ sin 2 ⁡ θ d θ = r 2 1 8 θ - 1 4 sin ⁡ 4 θ

Aplicando os limites de integração

∫ 0 2 π r 2 cos 2 ⁡ θ sin 2 ⁡ θ d θ = r 2 1 8 2 π - 1 4 sin ⁡ 4 2 π - 1 8 0 - 1 4 sin ⁡ 4 0

∫ 0 2 π r 2 cos 2 ⁡ θ sin 2 ⁡ θ d θ = r 2 1 8 2 π

∫ 0 2 π r 2 cos 2 ⁡ θ sin 2 ⁡ θ d θ = π 4 r 2

Tudo certo? 😉

Passo 4

Agora temos a seguinte integral

∬ S f x , y , z d S = 2 ∫ 1 3 ∫ 0 2 π r 2 cos 2 ⁡ θ sin 2 ⁡ θ d θ d r

∬ S f x , y , z d S = 2 ∫ 1 3 π 4 r 2 d r

Integrando o resultado em r , vamos obter

∫ π 4 r 2 d r = π 4 r 3 3 = π r 3 12

Aplicando os limites de integração

∫ 1 3 π 4 r 2 d r = π 3 3 12 - π 1 3 12

∫ 1 3 π 4 r 2 d r = 13 6 π

Substituindo na solução do problema...

∬ S f x , y , z d S = 2 13 6 π

∬ S f x , y , z d S = 13 2 π 6

Sacou como faz? Responde Aí! 😉

Resposta

∬ S f x , y , z d S = 13 2 π 6

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