USP, Sem Campus, Cálculo 3, lista 3 - 2021.1, Questão 6b
Calcule
, onde S é a parte do plano no primeiro octante, orientada de modo que sua normal satisfaz ;
Passo 1
Eaew, belezinha?
Precisamos calcular a integral de superfície
Temos que a notação com produto exterior pode ser escrita da seguinte forma:
.
Temos então que:
=
sendo,
e a superfície considerada é a parte no primeiro octante do plano
.
Para resolver essa integral, vamos parametrizar a superfície e encontrar a sua normal. Vamos lá!
Passo 2
A expressão do vetor normal pode ser obtida através do seguinte produto vetorial
em que é uma parametrização da superfície, sendo essa
Vamos calcular as derivadas e o produto vetorial:
.
Assim, obtemos que a normal é:
Antes de ir para a integral, temos temos que escrever a função seguindo a parametrização e também calcular o produto escalar .
Passo 3
Vamos escrever a função vetorial :
=.
Então agora podemos calcular o produto escalar:
.
Agora vamos encontrar os limites de integração e partir para a integral.
Passo 4
A superfície considerada é o plano . Para definir os limites de integração, considerando que estamos no primeiro octante, tomamos z=0 e olhando para o plano xy
temos que os limites para e são e . Nossa integral se torna então
.
Passo 5
Vamos começar a nossa integração! Saca só!
Precisamos integrar primeiro em , pois os limites de sua integral dependem de :
temos que
agora integrando em , usando então uma série de integrais conhecidas, obtemos o resultado
.
A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!
Resposta