UTFPR, Londrina, Cálculo 3, Provas de C3 - Prof Marcele Tavares - AV1 - 2023.1, Questão 1.ii
Escolha três afirmações para avaliar em relação a ser verdadeira (V) ou falsa (F). Para cada item
apresente argumentos que fundamentem sua avaliação.
ii. Se div F = 1, então o fluxo do campo vetorial F sobre uma superfície S, fechada e simples, coincide com o volume do sólido cuja fronteira é S.
Passo 1
A divergência de um campo vetorial F é uma medida da "fonte" ou "sumidouro" do campo em um ponto dado. A interpretação física da divergência é relacionada ao fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada.
Se a divergência de um campo vetorial F for igual a 1, isso significa que há uma "fonte" constante de campo vetorial em cada ponto. No entanto, isso não implica automaticamente que o fluxo do campo vetorial F sobre uma superfície fechada S coincida com o volume do sólido cuja fronteira é S.
O Teorema da Divergência, também conhecido como Teorema de Gauss, relaciona a divergência de um campo vetorial com o fluxo desse campo através de uma superfície fechada. O teorema estabelece que o fluxo do campo vetorial F através de uma superfície fechada S é igual à integral tripla da divergência de F sobre o volume delimitado por S. A fórmula do teorema da divergência é:
Passo 2
Passo 3
Nesta fórmula, ∬representa a integração dupla sobre a superfície S, ∭ representa a integração tripla sobre o volume delimitado por S, F é o campo vetorial, dS é o vetor diferencial de área na superfície S, div F é a divergência de F e dV é o diferencial de volume.
Portanto, a divergência de F não tem uma relação direta com o volume do sólido delimitado por uma superfície fechada S. O Teorema da Divergência relaciona a divergência com o fluxo através da superfície fechada e o volume interno, mas não diz que o fluxo é igual ao volume.
Resposta
Falsa