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Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial

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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Volume 2 - 7ª Edição – Capítulo 16 – Seção 7 – Exercício 30

(Capítulo 16.7 – Exercício 30) Calcule a integral de superfície ∫ ∫ S   F ∙ d S para o campo vetorial F e superfície orientada S . Em outras palavras, determine o fluxo de F através de S . Para superfícies fechadas, use a orientação positiva (para fora).

F x ,   y ,   z = x   i + y   j + 5   k   ,

S é a fronteira da região delimitada pelo cilindro x 2 + z 2 = 1 e pelos planos y = 0 e x + y = 2 .

Passo 1

Faaaala galera, vamos lá entender direitinho o que temos que fazer nesse exercício

Temos que “ S é a fronteira da região delimitada pelo cilindro x 2 + z 2 = 1 e pelos planos y = 0 e x + y = 2 .”

E aí queremos encontrar o fluxo de F → através de S

O fluxo ϕ de um campo é definido como

ϕ = ∬ S F → ⋅ d S →

Onde

d S → = - r → u × r → v d A

Então vamos lá!!

Passo 2

Aqui S consiste de três superfícies: S 1 (a lateral do cilindro); S 2 (a frente formada pelo plano y = 2 - x ) ; e o fundo, S 2 (formado pelo plano y = 0 ).

Em S 1 , nós teremos:

r θ ,   y = s e n   θ   i + y   j + cos ⁡ θ k   ,           0 ≤ θ ≤ 2 π   ,           0 ≤ y ≤ 2 - x = 2 - s e n   θ

F r θ ,   y = s e n   θ   i + y   j + 5   k

r θ × r y = s e n   θ   i + 0   j + cos ⁡ θ k

Portanto,

∫ ∫ S 1   F ∙ d S = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 - s e n   θ ( s e n 2   θ + 5 cos ⁡ θ ) d y   d θ = ∫ 0 2 π 2   s e n 2   θ + 10 cos ⁡ θ - s e n 3   θ - 5   s e n θ cos ⁡ θ d θ = 2 π

Passo 3

Agora, para S 2 , teremos:

r x ,   z = x   i + 2 - x   j + z   k   ,           x 2 + z 2 ≤ 1

F r x ,   z = x   i + ( 2 - x )   j + 5   k

r z × r x = i + j + 0   k

Portanto,

∫ ∫ S 2   F ∙ d S = ∬ x 2 + z 2 ≤ 1   x + 2 - x   d A = ∬ x 2 + z 2 ≤ 1   ( 2 )   d A = 2 π 1 2 = 2 π

Passo 4

Por último, para S 3 , temos

r x ,   z = x   i + 0   j + z   k   ,           x 2 + z 2 ≤ 1

F r x ,   z = x   i + 0   j + 5   k

r x × r z = 0   i - j + 0   k

Portanto,

∫ ∫ S 3   F ∙ d S = ∬ x 2 + z 2 ≤ 1   ( 0 )   d A = 0

Show! Agora é só somar tudo!

∫ ∫ S   F ∙ d S = ∫ ∫ S 1   F ∙ d S + ∫ ∫ S 2   F ∙ d S + ∫ ∫ S 3   F ∙ d S = 2 π + 2 π + 0 = 4 π

Arrasamos!!

Resposta

4 π

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