1. Explicite duas estratégias para calcular ∫ C F ∙ d r , onde F x , y =   < x 3 + x y 2 ,   y x 2 + y 3 + 3 x > e C a fronteira da região D = { x 2 9 + y 2 4 ≤ 1 }

Passo 1

Primeiro vamos dar uma olhada em D e visualizar a região C.

A região C é a a fronteira dessa figura tridimensional.

Passo 2

Uma forma de resolver essa integração é utilizar a relação

∫ C F x , y , z ∙ d r = ∫ a b F x t , y t , z t ∙ r t d t

E utilizarmos coordenadas elípticas:

x = a r cos ⁡ θ

y = b r sin ⁡ θ

Passo 3

Outra forma de resolvermos esse problema é utilizando o nosso querido Teorema de Green, que diz

∮ ∂ D F 1 d x + F 2 d y = ∬ D ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y

Resposta

Ver o desenvolvimento.

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