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Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial

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Enunciado

Stewart, James. Cálculo, volume 2, ed 7ª – Capítulo 16 – Seção 8 – Questão 2

(Cap.16.8- Exercício 2) Use o Teorema de Stokes para calcular ∬ S c u r l F → ⋅ d S → .

F → x , y , z = 2 y c o s z i → + e x s e n z j → + x e y k → , S é o hemisfério x 2 + y 2 + z 2 = 9 , z ≥ 0 , orientado para cima.

Passo 1

Oiii galera, tudo bem? Bom gente a integral de superfície pode ser calculada simplesmente com os valores de F na fronteira C . Isso quer dizer que se tivermos outra superfície orientada com a mesma fronteira C , teremos o mesmo valor para a integral de superfície.

Assim, o primeiro passo que devemos fazer nesse tipo de questão é achar a curva fronteira C e em seguida fazer a parametrização das equações.

Passo 2

Vamos determinar a fronteira. No plano x y temos um círculo de raio 3 :

x 2 + y 2 = 9

Vou preferir usar a forma do teorema que diz ∫ C F → ⋅ d r → .

Uma parametrização possível é:

{ x = 3 c o s t   y = 3 s e n t   z = 0   0 ≤ t ≤ 2 π

E o vetor r → t :

r → t = 3 c o s t i → + 3 s e n t j → + 0 k →

E já vamos calcular a derivada:

d r → = r ' t d t = ⟨ − 3 s e n t , 3 c o s t , 0 ⟩ d t

Passo 3

Agora vamos encontrar o campo F → em função dessa nova parametrização:

F → x t , y t , z t = 2 y c o s z i → + e x s e n z j → + x e y k →

F → t = 2.3 s e n t . c o s 0 i → + e 3 c o s t s e n 0 j → + 3 e 3 s e n t c o s t k →

Daí sabendo que s e n 0 = 0 , c o s 0 = 1 temos:

F → t = 6 s e n t i → + 0 j → + 3 e 3 s e n t c o s t k → , 0 ≤ t ≤ 2 π

Passo 4

Show! Agora vamos calcular o integrando: o produto escalar de F → t com d r → (resgatando lá dos passos 2 e 3 ):

F → t ⋅ d r → = ⟨ 6 s e n t , 0,3 e 3 s e n t c o s t ⟩ ⋅ ⟨ − 3 s e n t , 3 c o s t , 0 ⟩ d t = − 18 s e n 2 t d t

Passo 5

Beleza! Agora é só colocar na integral e calcular sobre os valores de 0 ≤ t ≤ 2 π :

∬ S c u r l F → ⋅ d S → = ∫ C F → ⋅ d r → = ∫ 0 2 π − 18 s e n 2 t d t

Olhando numa tabela de integrais temos:

∬ S c u r l F → ⋅ d S → = − 18 t 2 − 1 4 s e n 2 t 0 2 π = − 18 2 π 2 − 1 4 s e n 4 π + 18 0 2 − 1 4 s e n 0

Assim temos:

∬ S c u r l F → ⋅ d S → = − 18.2 π 2 = − 18 π

Gostou?!Espero que tenha clareado as ideias!

Resposta

∬ S c u r l F → ⋅ d S → = − 18 π

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