Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial

Ver Teoria
Exercício 2912345678910111213141516171819202122232425262728303132333435363738394041424344454647484950515253545556575859606162636465666768697071727374757677787980818283

Enunciado

Integrais de superfície – caso vetorial

Seja F → x , y , z = ( cos 2 ⁡ z , cos 2 ⁡ y ,   s e n   z ) e S a parte da superfície x = sen ⁡ y + cos ⁡ z limitada por z = 0 , z = 2 y = - 1 e y = 1 , orientada por N → tal que N → . i → < 0 . Calcule

∬ S   F → . N → d σ

Passo 1

Como temos x escrito bonitinho em função de z e y podemos parametrizar essa curva como

y = u

z = v

Precisamos achar o valor de z nessa bagunça, repara que temos

x = sen ⁡ y + cos ⁡ z

Então

x = sen ⁡ u + cos ⁡ v

Então teremos

σ u , v = sen ⁡ u + cos ⁡ v , u , v

Passo 2

Temos uma integral de superfície escalar, então precisamos achar a norma do vetor normal, primeiro vamos achar o vetor normal, ele vai ser

N u , v = ∂ σ ∂ u × ∂ σ ∂ v

Vamos começar achando as derivadas da parametrização

∂ σ ∂ u = cos ⁡ u , 1,0

∂ σ ∂ θ = - sen ⁡ v , 0,1

O vetor normal vai ser

N u , v = i j k cos ⁡ u 1 0 - sen ⁡ v 0 1

N u , v = 1 i + 0 j + 0 k - - sen ⁡ v k - cos ⁡ u j - 0 i

N u , v = 1 i - cos ⁡ u j + sen ⁡ v k

Como ele quer N → ∙ i → < 0 , esse vetor N está com os sinais trocados, porque

1 , - cos ⁡ u , + sen ⁡ v ∙ 1,0 , 0 = 1

O vetor normal vai ser

N u , v = - i + cos ⁡ u j - sen ⁡ v k

Podemos trocar o sinal a vontade, isso porque bastaria trocar a ordem do produto vetorial.

Passo 3

A Integral vai ficar

∬ S   F → . N → d σ = ∬ D cos 2 ⁡ v , cos 2 ⁡ u , sen ⁡ v ∙ - 1 , cos ⁡ u , - sen ⁡ v d u d v

Onde D é limitada por z = 0 , z = 2 y = - 1 e y = 1

Conseguimos perceber que u vai de - 1 à 1 porque é a limitação de y e z vai de 0 à 2 porque é a limitação de z

A integral vai finalmente ficar

∫ 0 2 ∫ - 1 1 - cos 2 ⁡ v + cos 3 ⁡ u - sen 2 ⁡ v d u d v

∫ 0 2 ∫ - 1 1 - cos 2 ⁡ v + sen 2 ⁡ v + cos 3 ⁡ u d u d v

∫ 0 2 ∫ - 1 1 - 1 + cos 3 ⁡ u d u d v

A treta aqui é a integral de cos 3 ⁡ θ

Passo 4

Vamos fazer essa integral aí

∫ cos 3 ⁡ u d u = ∫ cos ⁡ u cos 2 ⁡ u d u = ∫ cos ⁡ u 1 - sen 2 ⁡ u d u

Vamos fazer

sen ⁡ u = a

Derivando

d a = cos ⁡ u d u

A integral vai ficar

∫ cos ⁡ u 1 - sen 2 ⁡ u d u = ∫ 1 - a 2 d a

⇒ ∫ 1 - a 2 d a = a - a 3 3 + C

Voltando para u

a - a 3 3 + C = sen ⁡ u - sen 3 ⁡ u 3 + C

Como estamos com uma integral definida essa constante não vai entrar na conta, vamos voltar para a integral dupla

Passo 5

∫ 0 2 ∫ - 1 1 - 1 + cos 3 ⁡ u d u d v

⇒ ∫ 0 2 - u + sen ⁡ u - sen 3 ⁡ u 3 u = - 1 1 d v

⇒ ∫ 0 2 - 1 + sen ⁡ 1 - sen 3 ⁡ 1 3 - - - 1 + sen ⁡ - 1 - sen 3 ⁡ - 1 3 d v

⇒ ∫ 0 2 - 1 + sen ⁡ 1 - sen 3 ⁡ 1 3 - 1 - sen ⁡ 1 - - sen ⁡ 1 3 3 d v

⇒ ∫ 0 2 - 1 + sen ⁡ 1 - sen 3 ⁡ 1 3 - 1 - sen ⁡ 1 + sen 3 ⁡ 1 3 d v

⇒ ∫ 0 2 - 2 + 2 sen ⁡ 1 - 2 3 sen 3 ⁡ 1 d v

⇒ - 2 + 2 sen ⁡ 1 - 2 3 sen 3 ⁡ 1 v v = 0 2

⇒ - 2 + 2 sen ⁡ 1 - 2 3 sen 3 ⁡ 1 2 - 0

⇒ - 4 + 4 sen ⁡ 1 - 4 3 sen 3 ⁡ 1

Resposta

- 4 + 4 sen ⁡ 1 - 4 3 sen 3 ⁡ 1

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral de superfície ∫ ∫ SF ∙ d S para o campo vetorial F e superfície orientada S . Em outras palavras, determine o fluxo de F através de S . Para superfícies fechadas, use a orientação p
Calcule a integral de superfície ∫ ∫ SF ∙ d S para o campo vetorial F e superfície orientada S . Em outras palavras, determine o fluxo de F através de S . Para superfícies fechadas, use a orientação p
A temperatura de um ponto da bola com condutividade K é inversamente proporcional à distância do centro da bola. Determine a taxa de transmissão de calor através de uma esfera S de raio a e centro da
Determine uma fórmula para ∬ S F → ⋅ d S → semelhante à fórmula 10 para o caso onde S é dado por y = h ( x , z ) e n → é o vetor normal unitário que aponta para a esquerda.
Determine uma fórmula para ∬ S F → ⋅ d S → semelhante à fórmula 10 para o caso onde S é dado por x = h ( y , z ) e n → é o vetor normal unitário que aponta para frente (ou seja, para o observador, qua