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ExercĂ­cios Resolvidos de Caso Vetorial

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Enunciado

UFSCAR, Sem Campus, CĂĄlculo 3 - Lista de Integrais de SuperfĂ­cie, QuestĂŁo 6

Seja F → ( x , y , z ) =   ( đ‘„   +   𝑩   +   𝑧 2   ) k → e seja S a fronteira do cilindro x 2 + y 2 ≀ 4 e 0   ≀   𝑧   ≀   3 . Calcule ∫ ∫ S F → ⋅ n →   d S , em que n → Ă© a normal que aponta para fora do cilindro.

Passo 1

Eaew, belezinha?

O enunciado nos pede para calcularmos a seguinte integração

∫ ∫ S F → ⋅ n →   d S

em que levamos em consideração o seguinte campo vetorial

F → ( x , y , z ) = ( đ‘„   +   𝑩   +   𝑧 2   ) k →

A superfĂ­cie Ă© o cilindro

x 2 + y 2 ≀ 4 e 0   ≀   𝑧   ≀   3

em que a normal aponta para fora desse cilindro.

Primeiro vamos encontrar esse vetor normal da superfĂ­cie!

Passo 2

A expressão do vetor normal pode ser obtida através do seguinte produto vetorial

n → = ∂ ϕ ( u , v ) ∂ u × ∂ ϕ ( u , v ) ∂ v

em que ϕ ( u , v ) Ă© uma parametrização da superfĂ­cie, nesse caso a superfĂ­cie que vamos considerar Ă© o cilindro   x 2 + y 2 ≀ 4 e 0   ≀   𝑧   ≀   3 . Escolhemos a parametrização em coordenadas cilĂ­ndricas com r = 2 e Ξ = u e 𝑧 = v :

ϕ ( u , v ) = ( 2   c o s   u , 2   s i n   u , v ) .

Vamos calcular as derivadas e o produto vetorial:

n → = ∂ ϕ ( u , v ) ∂ u × ∂ ϕ ( u , v ) ∂ v = ( - 2   s i n   u , 2   c o s   u ,   0 ) × ( 0,0 , 1 ) = ( 2   c o s   u ,   2   s i n   u ,   0 ) .

Assim, obtemos que a normal Ă©:

  n → = ( 2   c o s   u ,   2   s i n   u ,   0 ) .

Passo 3

A integral Ă© tal que

∫ ∫ S F → ⋅ n →   d S

Calculando,

F → ⋅ n →   = ( 0,0 , ( 2   c o s   u +   2   s i n   u   +   v 2   ) ) . ( 2   c o s   u ,   2   s i n   u ,   0 ) = 0

EntĂŁo temos que:

∫ ∫ S F → ⋅ n →   d S = 0

A questĂŁo foi isso! Te vejo na prĂłxima! Tchau Tchau!

Resposta

∫ ∫ S F → ⋅ n →   d S = 0

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