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Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial

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Enunciado

Seja S a parte de o cilindro x 2 + y 2 = 4 limitada pelos planos z = - 1 e z = 1 e orientada pela normal unitária N → , tal que N → 1,0 , 0 = i → e F → x , y , z = x   i → + y   j → + z 4   k → . O valor da integral

∫ ∫ S F → ⋅ N → d σ

é:

a) 4 π

b) 20 π

c) 8 π

d)   12 π

e) 16 π

Passo 1

Temos uma integral de superfície vetorial sobre uma superfície relativamente simples (o cilindro) e o nosso campo é simples. Então a gente pode calcular essa integral do jeito imediato mesmo, tá?

Cara, tem um passo a passo para fazer esse tipo de exercício. Só seguir ele que dá bom!

Primeira coisa é parametrizar a superfície. Ele disse que a superfície é um cilindro de raio 2 e centro em 0,0 . E eles só está limitado no eixo z entre - 1 e 1 . Vamos usar então a prima das coordenadas cilíndricas para parametrizar esse bonito:

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n   θ

z = z

Só que na parametrização a gente só tem dois parâmetros para a superfície. E a gente já viu que o raio do nosso cilindro é r = 2 . Então nossa parametrização fica:

φ θ , z = 2 cos ⁡ θ , 2 sen ⁡ θ ,   z

O nosso cilindro dá a volta completa em torno do seu eixo e está entre aqueles planos de z , aí o domínio da nossa parametrização (e da nossa integral de superfície) vai ser

0 ≤ θ ≤ 2 π ,   - 1 ≤ z ≤ 1

Passo 2

Depois a gente precisa calcular nosso vetor normal.

∂ φ ∂ θ = - 2   s e n   θ ,   2 cos ⁡ θ ,   0

∂ φ ∂ z = 0,0 , 1

N → = ∂ φ ∂ θ × ∂ φ ∂ z = i ^ j ^ k ^ - 2   s e n   θ   2 cos ⁡ θ 0 0 0 1

N → = 2 cos ⁡ θ ,   2   s e n   θ ,   0

Mas a gente precisa verificar se ele tá na orientação certa. Como assim? O enunciado disse que

N → 1,0 , 0 = i →

Isso significa que nosso vetor na parte positiva do eixo x , aponta para a direção crescente dele. Ou seja, o vetor está apontando para a própria direção do eixo x .

E sobre o eixo x , qual é o valor de θ ? θ = 0 , né? Então vamos substituir isso no nosso vetor que a gente calculou para ver se acontece o que ele falou:

N → = 2 cos ⁡ 0 ,   2   s e n   0 ,   0 = 2,0 , 0

De fato, o nosso vetorzinho está virado para o lado crescente do eixo x quando sobre esse eixo na parte positiva dele. Então nosso vetor é essa aqui mesmo:

N → = 2 cos ⁡ θ ,   2   s e n   θ ,   0

Passo 3

Vamos montar nossa integral fofa, sendo S o nosso domínio da parametrização da superfície:

∫ ∫ S F → ⋅ n → d S = ∫ 0 2 π ∫ - 1 1 F → θ , z ⋅ 2 cos ⁡ θ ,   2   s e n   θ ,   0   d z   d θ

F x , y , z = x , y , z 4

A gente tem que substituir φ θ , z = 2 cos ⁡ θ , 2 sen ⁡ θ ,   z

x = 2 cos ⁡ θ ,     y = 2   s e n   θ ,     z = z

∴

F θ , z = 2 cos ⁡ θ , 2   s e n   θ , z 4

E nossa integral fica:

∫ ∫ S F → ⋅ n → d S = ∫ 0 2 π ∫ - 1 1 2 cos ⁡ θ , 2   s e n   θ , z 4 ⋅ 2 cos ⁡ θ ,   2   s e n   θ ,   0   d z   d θ

Passo 4

Agora é calcular essa belezinha! Vamos com coragem:

∫ ∫ S F → ⋅ n → d S = ∫ 0 2 π ∫ - 1 1 4 cos 2 ⁡ θ + 4   s e n 2 θ   d z   d θ

Lembrando que

cos 2 ⁡ θ +   s e n 2 θ = 1

∴

∫ ∫ S F → ⋅ n → d S = ∫ 0 2 π ∫ - 1 1 4 ( cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ )   d z   d θ

∫ ∫ S F → ⋅ n → d S = ∫ 0 2 π ∫ - 1 1 4 d z   d θ = 2 π 4 + 4 = 16 π

Resposta

Letra e

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