Calcule a integral:
Onde:
E é a união da superfície:
Com a superfície:
Indicando a orientação escolhida para .
Passo 1
A superfície é a união de outras duas. Podemos então separar a integral e fazer como se fossem dois problemas:
Para a primeira, que é o cilindro , vamos parametrizar com coordenadas polares:
Substituindo na equação da superfície:
Portanto sobrou como variável, vamos torna-la um parâmetro.
Jogando a parametrização nas limitações, temos simplesmente:
Portanto nosso domínio de integração é:
Passo 2
Encontrando o vetor normal:
Como os valores de e estão com um sinal positivo, o vetor normal está apontando para fora.
Passo 3
Substituindo a parametrização no campo:
Fazendo o produto escalar:
Fazendo a integral:
Substituindo os limites de integração:
Arrumando pela fórmula trigonométrica e por substituição simples:
Substituindo:
Passo 4
Fazendo a parametrização para a outra superfície, sabemos que ela é o plano .
Com os limites:
Que é o disco de raio unitário. Parametrizamos com coordenadas polares:
Substituindo:
Portanto nossos limites são o domínio:
Modelando o plano:
Obtemos o vetor normal:
Para manter a ideia de vetor normal apontando para fora da superfície, precisamos apontar o vetor para baixo, logo
Passo 5
Fazendo a integral:
Substituímos a parametrização no campo:
Não importam a primeira e a segunda coordenadas pois o produto escalar com vai zerá-las. Portanto:
Mas nesse plano temos , portanto:
Pelo produto escalar temos:
Portanto a integral é nula.
Resposta
Com a orientação do vetor normal às superfícies apontando para fora do cilindro e para baixo do plano.