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Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial

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Enunciado

UTFPR. Calculo Avançado. Lista 2 de Exercícios - Cálculo Vetorial. AV1. Questão 2a.

2. Calcule a integral de superfície ∫ ∫ S F . d S para o campo vetorial F e superfície orientada S . Em outras palavras, determine o fluxo de F através de S . Para superfícies fechadas, use a orientação (para fora) positiva.

a) F x , y , z = x y i + y z j + z x k , S é a parte do paraboloide z = 4 - x 2 - y 2 que está acima do quadrado 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 , com orientação para cima.

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nessa questão temos um caso vetorial de integral de superfície.

Pra isso, foi dada uma função vetorial F x , y , z = x y i + y z j + z x k e uma superfície S dada pelo paraboloide z = 4 - x 2 - y 2 .

Porem, a região que estamos interessados, está condida apenas em cima do quadrado limitado por 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1 .

Esse caso vetorial é um pouquinho diferente do caso escalar, ta lembrado como é?? 🤔🤔

Quando temos que calcular uma integral de superfície para um caso vetorial, nós aplicamos a seguinte formula

∫ ∫ S F · N d A

Onde F já foi dada e N é um vetor normal a superfície.

Bora ver como fazemos na prática? 😁

Passo 2

A primeira coisa que temos que fazer é parametrizar S em função de duas variáveis. Pra evitar confusões, vamos parametrizar em função de x e y mesmo, dessa forma, x continua sendo x , y continua sendo y e escrevemos z em função de x e y .

Como z = 4 - x 2 - y 2 , nossa parametrização será

P x , y = x , y , 4 - x 2 - y 2

Vamos obter o vetor normal a S derivando essa parametrização em função de x e y e calculando o produto vetorial entre elas. Bora lá?

Derivando P com relação a x

∂ P ∂ x = ∂ x , y , 4 - x 2 - y 2 ∂ x

Aplicando o método de integração polinomial

∂ P ∂ x = ∂ x , y , 4 - x 2 - y 2 ∂ x = ∂ x ∂ x , ∂ y ∂ x , ∂ 4 - x 2 - y 2 ∂ x

Derivando x , y e 4 - x 2 - y 2 , temos

∂ P ∂ x = x 1 - 1 , 0 y , 0 4 - 2 x 2 - 1 - 0 y 2

∂ P ∂ x = 1,0 , - 2 x

Agora vamos derivar P com relação a y aplicando o mesmo método

∂ P ∂ y = ∂ x , y , 4 - x 2 - y 2 ∂ y = ∂ x ∂ y , ∂ y ∂ y , ∂ 4 - x 2 - y 2 ∂ y

Com isso, a derivada de x , y e 4 - x 2 - y 2 com relação a y é

∂ P ∂ y = 0 x , y 1 - 1 , 0 4 - 0 x 2 - 2 y 2 - 1

∂ P ∂ y = 0,1 , - 2 y

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Vamos obter o vetor normal a S se a gente calcular o produto vetorial dessas derivadas, veja só

N = ∂ P ∂ x x ∂ P ∂ y = i j k 1 0 - 2 x 0 1 - 2 y

Calculando esse determinante, temos

N = 2 x i + 2 y j + 1 k

Como nossa função de integração é dada por F · N , vamos aplicar a parametrização que fizemos em F

F x , y , z = x y i + y z j + z x k

x ainda é x , y ainda é y e z é 4 - x 2 - y 2 , ou seja

F x , y = x y i + y 4 - x 2 - y 2 j + 4 - x 2 - y 2 x k

Agora calculamos o produto interno de F com N , ou seja F · N = F i N i + F j N j + F k N k

F · N = x y 2 x + y 4 - x 2 - y 2 2 y + 4 - x 2 - y 2 x 1

Simplificando o resultado

F · N = 2 x 2 y + 2 y 2 4 - x 2 - y 2 + 4 x - x 3 - x y 2

F · N = 2 x 2 y + 8 y 2 - 2 x 2 y 2 - 2 y 4 + 4 x - x 3 - x y 2

Como foi dito no início que queremos apenas a parte do paraboloide que está contido em 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1 .

Logo, nossos limites de integração para x e para y é de 1 a 0 .

Muito bacana, não é? 😎

Passo 4

Com essas informações que obtemos, podemos montar nossa integral

∫ 0 1 ∫ 0 1 2 x 2 y + 8 y 2 - 2 x 2 y 2 - 2 y 4 + 4 x - x 3 - x y 2 d x d y

Para a vamos integrar essas integrais com relação a x pelo método de integração polinomial, primeiramente

Onde não tem x pra integrar, aplicamos a regra de integração de constante, onde tem, aplicamos a regra da integração polinomial

∫ 2 x 2 y + 8 y 2 - 2 x 2 y 2 - 2 y 4 + 4 x - x 3 - x y 2 d x = 2 x 2 + 1 2 + 1 y + 8 y 2 x - 2 x 2 + 1 2 + 1 y 2 - 2 y 4 x + 4 x 1 + 1 1 + 1 - x 3 + 1 3 + 1 - x 1 + 1 1 + 1 y 2

Logo, essa integral resulta em

2 x 3 y 3 + 8 x y 2 - 2 x 3 y 2 3 - 2 x y 4 + 2 x 2 - x 4 4 - x 2 y 2 2

Aplicando os limites de integração, temos para o limite superior em 1

x = 1 → 2 1 3 y 3 + 8 1 y 2 - 2 1 3 y 2 3 - 2 1 y 4 + 2 1 2 - 1 4 4 - 1 2 y 2 2 = 2 y 3 + 8 y 2 - 2 y 2 3 - 2 y 4 + 2 - 1 4 - y 2 2

Já para o limite inferior em 0

x = 0 → 2 0 3 y 3 + 8 0 y 2 - 2 0 3 y 2 3 - 2 0 y 4 + 2 0 2 - 0 4 4 - 0 2 y 2 2 = 0

Ou seja, a integral em relação a x com os limites de integração aplicados resulta em

2 y 3 + 8 y 2 - 2 y 2 3 - 2 y 4 + 2 - 1 4 - y 2 2 = - 2 y 4 + 41 y 2 6 + 2 y 3 + 7 4

Ou pouquinho trabalhoso, não é? Mas relaxa, estamos chegando ao fim.

Passo 5

Agora integramos esse resultado com relação a y pelo mesmo método de integração polinomial

∫ - 2 y 4 + 41 y 2 6 + 2 y 3 + 7 4 d y = - 2 y 4 + 1 4 + 1 + 41 y 2 + 1 6 2 + 1 + 2 y 1 + 1 3 1 + 1 + 7 4 y

∫ - 2 y 4 + 41 y 2 6 + 2 y 3 + 7 4 d y = - 2 y 5 5 + 41 y 3 18 + 2 y 2 6 + 7 4 y

Aplicando os limites de integração, temos para o limite superior em 1

y = 1 → - 2 1 5 5 + 41 1 3 18 + 2 1 2 6 + 7 4 1 = 713 180

Já para o limite inferior em 0

y = 0 → - 2 0 5 5 + 41 0 3 18 + 2 0 2 6 + 7 4 0 = 0

Com isso, chegamos à conclusão de que a integral que buscamos é igual a 713 180 , ou seja

∫ 0 1 ∫ 0 1 2 x 2 y + 8 y 2 - 2 x 2 y 2 - 2 y 4 + 4 x - x 3 - x y 2 d x d y = 713 180

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

∫ 0 1 ∫ 0 1 2 x 2 y + 8 y 2 - 2 x 2 y 2 - 2 y 4 + 4 x - x 3 - x y 2 d x d y = 713 180

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