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Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial

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Enunciado

UFF, Niterói - Campus da Praia Vermelha, Cálculo IIIA, P2 - 2022.2, Questão 2

Seja C o quadrado de vértices (5, 0), (0, 5), (−5, 0) e (0, −5), orientado no sentido anti-horário. Calcule

a integral de linha de campo vetorial

∫ ( y 2 x 2 - y x 2 + y 2 ) d x + ( x x 2 + y 2 + 2 x ) d y

Passo 1

Vamos dividir a integral em duas partes para facilitarmos nossa vida:

I 1 = ∫ ( y 2 x 2 d x + 2 x ) d y

I 2 = ∫ ( - y x 2 + y 2 d x + x x 2 + y 2 d y )

Passo 2

Para a primeira, seja R a região dentro do quadrado. Por Green:

∫ y 2 x 2 d x + 2 x d y = ∬ ∂ 2 x ∂ x - ∂ x 2 y 2 ∂ y d A = ∬ 2 - 2 x 2 y d A =

= 2 A R = 2 ∙ 5 2 = 100

Pois, por simetria ( y → - y ) , o segundo termo tem integral nula.

Passo 3

Para a segunda, seja R 2 a região dentro do quadrado mas fora do circulo C 2 : x 2 + y 2 = 1 . Agora:

∫ C - C 2 - y x 2 + y 2 d x + x x 2 + y 2 d y = ∫ ∫ R 2 ∂ x x 2 + y 2 ∂ x - ∂ - y x 2 + y 2 ∂ y d A = 0

Portanto, parametrizando C 2   por cos ⁡ t , sin ⁡ t ,   0 ≤ t ≤ 2 π , temos:

I 2 = ∫ C 2 - y x 2 + y 2 d x + x x 2 + y 2 d y = ∫ 0 2 π - sin ⁡ t ∙ - sin ⁡ t + cos ⁡ t ∙ cos ⁡ t ∙ d t = 2 π

Enfim

I 1 + I 2 = 100 + 2 π  

Resposta

100 + 2 π

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