Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial

Ver Teoria
Exercício 7812345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546474849505152535455565758596061626364656667686970717273747576777980818283

Enunciado

UFSCAR, Sem Campus, Cálculo 3 - Lista de Integrais de Superfície, Questão 7

Calcule ∫ ∫ S F → ⋅ n →   d S , sendo F → ( x , y , z ) = 𝑥 𝑦 𝑖 ⃗   +   𝑦 𝑧 𝑗 ⃗   +   𝑧   2 𝑘 ⃗ , S a fronteira de   𝐵   =   { ( 𝑥 ,   𝑦 ,   𝑧 )   ∈   ℝ 3   | 0   ≤   𝑥   ≤   1 ,   0   ≤   𝑦   ≤   𝑥 ,   0   ≤   𝑧   ≤   4 } e 𝑛⃗ a normal que aponta para fora de B.

Passo 1

Eaew, belezinha?

O enunciado nos pede para calcularmos a seguinte integração

∫ ∫ S F → ⋅ n →   d S

em que levamos em consideração o seguinte campo vetorial

F → ( x , y , z ) = 𝑥 𝑦 𝑖 ⃗   +   𝑦 𝑧 𝑗 ⃗   +   𝑧   2 𝑘 ⃗

A superfície é a fronteira

  𝐵   =   { ( 𝑥 ,   𝑦 ,   𝑧 )   ∈   ℝ 3   | 0   ≤   𝑥   ≤   1 ,   0   ≤   𝑦   ≤   𝑥 ,   0   ≤   𝑧   ≤   4 }

em que a normal aponta para fora de B.

Primeiro vamos encontrar esse vetor normal da superfície!

Passo 2

A expressão do vetor normal pode ser obtida através do seguinte produto vetorial

n → = ∂ ϕ ( u , v ) ∂ u × ∂ ϕ ( u , v ) ∂ v

em que ϕ ( u , v ) é uma parametrização da superfície, nesse caso a superfície que vamos considerar é   𝐵   =   { ( 𝑥 ,   𝑦 ,   𝑧 )   ∈   ℝ 3   | 0   ≤   𝑥   ≤   1 ,   0   ≤   𝑦   ≤   𝑥 ,   0   ≤   𝑧   ≤   4 } . Escolhemos a parametrização em coordenadas cartesianas com   𝑥 = y = u e 𝑧 = v , sendo a variação 0   ≤   u   ≤   1 e 0   ≤   v   ≤   4 :

ϕ ( u , v ) = ( u , u , v ) .

Vamos calcular as derivadas e o produto vetorial:

n → = ∂ ϕ ( u , v ) ∂ u × ∂ ϕ ( u , v ) ∂ v = ( 1 ,   1 ,   0 ) × ( 0,0 , 1 ) = ( 1 ,   - 1 ,   0 ) .

Assim, obtemos que a normal é:

  n → = ( 1 ,   - 1 ,   0 ) .

Passo 3

A integral é tal que

∫ ∫ S F → ⋅ n →   d S

Calculando,

F → ⋅ n →   = ( u 2 , u   v ,   v 2   ) . ( 1 ,   - 1 ,   0 ) = u 2 - u   v

Então temos que:

∫ ∫ S F → ⋅ n →   d S = ∫ 0 4 ∫ 0 1 ( u 2 - u   v ) d u   d v

Maravilha! Vamos calcular a nossa integração!

Passo 4

Vamos começar a nossa integração! Saca só!

∫ ∫ S F → ⋅ n →   d S = ∫ 0 4 ∫ 0 1 ( u 2 - u   v ) d u   d v

Integrando em v

∫ 0 4 ∫ 0 1 ( u 2 - u   v ) d u   d v = ∫ 0 1 ( ( u 2 v - u   v 2 2 ) | v = 0 4 ] ) d u = ∫ 0 1 ( 4 u 2 - u   4 2 2 ) d u

agora integrando em u ,

∫ 0 1 ( 4 u 2 - u   4 2 2 ) d u = ( 4 u 3 3 - 8 u 2 2 ) | u = 0 1 = 4 1 3 - 8 1 2 = 4 3 - 4 = - 8 3

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

∫ ∫ S F → ⋅ n →   d S = - 8 3

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral de superfície ∫ ∫ SF ∙ d S para o campo vetorial F e superfície orientada S . Em outras palavras, determine o fluxo de F através de S . Para superfícies fechadas, use a orientação p
Calcule a integral de superfície ∫ ∫ SF ∙ d S para o campo vetorial F e superfície orientada S . Em outras palavras, determine o fluxo de F através de S . Para superfícies fechadas, use a orientação p
A temperatura de um ponto da bola com condutividade K é inversamente proporcional à distância do centro da bola. Determine a taxa de transmissão de calor através de uma esfera S de raio a e centro da
Determine uma fórmula para ∬ S F → ⋅ d S → semelhante à fórmula 10 para o caso onde S é dado por y = h ( x , z ) e n → é o vetor normal unitário que aponta para a esquerda.
Determine uma fórmula para ∬ S F → ⋅ d S → semelhante à fórmula 10 para o caso onde S é dado por x = h ( y , z ) e n → é o vetor normal unitário que aponta para frente (ou seja, para o observador, qua