Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial

Ver Teoria
Exercício 1212345678910111314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515253545556575859606162636465666768697071727374757677787980818283

Enunciado

Cálculo - James Stewart - Volume 2 - 7ª Edição – Capítulo 16 – Seção 7 – Exercício 21

(Capítulo 16.7 – Exercício 21) Avalie a integral de superfície ∬ S F → ⋅ d S → para o campo vetorial dado F → e a superfície orientada S . Em outras palavras, localize o fluxo de F → através de S . Para superfícies fechadas, use a orientação (para o exterior) positiva.

F x , y , z = z e x y i ^ - 3 z e x y j ^ + x y k ^

S é o paralelogramo do Exercício 5 com orientação ascendente.

Passo 1

Faaaala galera, vamos lá entender direitinho o que temos que fazer nesse exercício

Do exercício 5 temos, “ S é o paralelogramo com equação paramétrica x = u + v , y   =   u - v , z   =   1   +   2 u   +   v , 0 ≤ u ≤ 2 , 0 ≤ v ≤ 1 ”

E aí queremos encontrar o fluxo de F → através de S

O fluxo ϕ de um campo é definido como

ϕ = ∬ S F → ⋅ d S →

Onde

d S → = - r → u × r → v d A

Então vamos lá!!

Passo 2

Com a parametrização dada lá pelo exercício 5, nossa F → se transforma em

F x , y , z = F u , v

F u , v = 1 + 2 u + v e u + v u - v i ^ - 3 1 + 2 u + v e u + v u - v j ^ + u + v u - v k ^

F u , v = 1 + 2 u + v e u 2 - v 2 i ^ - 3 1 + 2 u + v e u 2 - v 2 j ^ + u 2 - v 2 k ^

Legal, já temos o F

Agora queremos saber quem é d S . Vamos calcular o produto vetorial r → u × r → v

r → u × r → v = d e t i ^ j ^ k ^ ∂ x d u ∂ x d u ∂ x d u ∂ x d v ∂ x d v ∂ x d v = 3 i ^ + j ^ - 2 k ^

Então d S → = - 3 i ^ + j ^ - 2 k ^ d A

Então, fazendo o produto escalar:

F → ⋅ d S → = - 3 1 + 2 u + v e u 2 - v 2 + 3 1 + 2 u + v e u 2 - v 2 + 2 u 2 - v 2

F → ⋅ d S → = 2 u 2 - v 2

Passo 3

Logo nossa integral se resume a

∫ 0 1 ∫ 0 2 2 u 2 - v 2   d u d v

= ∫ 0 1 2 u 3 3 - v 2 u 0 2 d v = ∫ 0 1 2 8 3 - 2 v 2 d v = 16 3 v - 2 3 v 3 0 1 = 16 3 - 4 3 = 4

E conseguimooos

Resposta

ϕ = ∬ S F → ⋅ d S → = 4

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral de superfície ∫ ∫ SF ∙ d S para o campo vetorial F e superfície orientada S . Em outras palavras, determine o fluxo de F através de S . Para superfícies fechadas, use a orientação p
Calcule a integral de superfície ∫ ∫ SF ∙ d S para o campo vetorial F e superfície orientada S . Em outras palavras, determine o fluxo de F através de S . Para superfícies fechadas, use a orientação p
A temperatura de um ponto da bola com condutividade K é inversamente proporcional à distância do centro da bola. Determine a taxa de transmissão de calor através de uma esfera S de raio a e centro da
Determine uma fórmula para ∬ S F → ⋅ d S → semelhante à fórmula 10 para o caso onde S é dado por y = h ( x , z ) e n → é o vetor normal unitário que aponta para a esquerda.
Determine uma fórmula para ∬ S F → ⋅ d S → semelhante à fórmula 10 para o caso onde S é dado por x = h ( y , z ) e n → é o vetor normal unitário que aponta para frente (ou seja, para o observador, qua