Calcule
Onde
Orientada pela normal com .
Passo 1
Antes de tudo, vamos pensar que superfície é essa do problema. Temos uma esfera com , portanto, apenas a casca de cima da esfera.
Temos ainda que . Isso é a equação de um cilindro deslocado, é essa equação que limita nossa superfície no plano .
Nossa superfície é, portanto, a porção da casca superior da esfera que está contida dentro desse cilindro.
Passo 2
Agora vamos parametrizar essa superfíce. Vamos usar logo e como parâmetros, para ser mais simples:
Como ja dissemos, o que limita nossa superfície no plano é o cilindro, portanto, o domínio dessa parametrização é
Passo 3
Agora temos que calcular a normal
Temos:
Bom, como o problema diz que a normal aponta para cima , e temos a coordenada positiva nesse vetor, sabemos que é esse mesmo o que queremos.
Passo 4
Agora, para calcular essa integral, vamos usar a seguinte fórmula:
Aplicando os valores que nós temos:
Escrevendo o campo em função das variáveis da parametrização, temos:
A integral fica então
Passo 5
Beleza, agora precisamos escrever essa região , dada por
Bom, como se trata de uma circunferência (onde o cilindro corta o plano ), vamos usar coordenadas polares:
Aplicando na nossa equação, isso nos dá
Essa é a equação da circunferência deslocada em coordenadas polares. Como varia desde a origem onde até a circunferência, temos .
Agora no intervalo de vamos pensar um pouquinho. Temos . Como o lado esquerdo dessa equação é sempre positivo (ou nulo), sabemos que , logo, . Isso quer dizer que o círculo está no 1º e no 4º quadrantes do plano cartesiano.
Portanto, podemos escrever .
Substituindo na integral, isso nos dá
Passo 6
Agora temos que resolver isso aí
Beleza, agora, precisamos usar aquela fórmula de arco duplo:
Usando a fórmula mais uma vez, temos: