USP, Sem Campus, Cálculo 3, lista 3 - 2022.1, Questão 5g
Calcule a integral de superfície para cada um dos campos de vetores e superfícies orientadas S indicadas abaixo. Em outras palavras, calcule o fluxo de através de S. Quando S é uma superfície fechada, admita que S está orientada pela normal exterior.
e S é o cubo de vértices (±1, ±1, ±1);
Passo 1
Eaew, belezinha?
O enunciado nos pede para calcularmos a seguinte integral
em que levamos em consideração o seguinte campo vetorial
e a superfície é o cubo de vértices (±1, ±1, ±1).
Temos que calcular o fluxo do campo em cada uma dessas 6 superfícies! Vamos lá!
Passo 2
A integral será a soma das seis integrais em cada lado do cubo. Primeiro vamos olhar para a superfície do plano , -1 ≤ y ≤ 1 e -1 ≤ z ≤ 1. A expressão do vetor normal pode ser obtida através do seguinte produto vetorial
em que é uma parametrização da superfície. Escolhemos a seguinte parametrização
.
Vamos calcular as derivadas e o produto vetorial:
.
Assim, obtemos que a normal é:
.
A integral é tal que
temos que a parametrização foi feita em , portanto . Sendo, -1 ≤ y ≤ 1 e -1 ≤ z ≤ 1. Nossa integral se torna então
então,
Passo 3
Agora vamos olhar para a superfície do plano , -1 ≤ y ≤ 1 e -1 ≤ z ≤ 1. A expressão do vetor normal pode ser obtida através do seguinte produto vetorial
em que é uma parametrização da superfície . Escolhemos a seguinte parametrização
.
Vamos calcular as derivadas e o produto vetorial:
.
Assim, obtemos que a normal é:
.
Como queremos a normal exterior
A integral é tal que
temos que a parametrização foi feita em , portanto . Sendo, -1 ≤ y ≤ 1 e -1 ≤ z ≤ 1. Nossa integral se torna então
então,
Passo 4
Agora vamos olhar para a superfície do plano , -1 ≤ x ≤ 1 e -1 ≤ z ≤ 1. A expressão do vetor normal pode ser obtida através do seguinte produto vetorial
em que é uma parametrização da superfície. Escolhemos a seguinte parametrização
.
Vamos calcular as derivadas e o produto vetorial:
.
Assim, obtemos que a normal é:
.
Como queremos a normal exterior
A integral é tal que
temos que a parametrização foi feita em , portanto . Sendo, -1 ≤ x ≤ 1 e -1 ≤ z ≤ 1. Nossa integral se torna então
então,
Passo 5
Agora vamos olhar para a superfície do plano , -1 ≤ x ≤ 1 e -1 ≤ z ≤ 1. A expressão do vetor normal pode ser obtida através do seguinte produto vetorial
em que é uma parametrização da superfície. Escolhemos a seguinte parametrização
.
Vamos calcular as derivadas e o produto vetorial:
.
Assim, obtemos que a normal é:
.
A integral é tal que
temos que a parametrização foi feita em , portanto . Sendo, -1 ≤ x ≤ 1 e -1 ≤ z ≤ 1. Nossa integral se torna então
então,
Passo 6
Agora vamos olhar para a superfície do plano , -1 ≤ x ≤ 1 e -1 ≤ y ≤ 1. A expressão do vetor normal pode ser obtida através do seguinte produto vetorial
em que é uma parametrização da superfície. Escolhemos a seguinte parametrização
.
Vamos calcular as derivadas e o produto vetorial:
.
Assim, obtemos que a normal é:
.
A integral é tal que
temos que a parametrização foi feita em , portanto . Sendo, -1 ≤ x ≤ 1 e -1 ≤ y ≤ 1. Nossa integral se torna então
então,
Passo 7
Agora vamos olhar para a superfície do plano , -1 ≤ x ≤ 1 e -1 ≤ y ≤ 1. A expressão do vetor normal pode ser obtida através do seguinte produto vetorial
em que é uma parametrização da superfície. Escolhemos a seguinte parametrização
.
Vamos calcular as derivadas e o produto vetorial:
.
Assim, obtemos que a normal é:
.
Como queremos a normal exterior
A integral é tal que
temos que a parametrização foi feita em , portanto . Sendo, -1 ≤ x ≤ 1 e -1 ≤ y ≤ 1. Nossa integral se torna então
então,
Passo 8
Agora, somando a contribuição das três integrais
A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!