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Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 3, lista 3 - 2022.1, Questão 5c

Calcule a integral de superfície ∫ ∫ S F → ⋅ N → d σ   para cada um dos campos de vetores F → e superfícies orientadas S indicadas abaixo. Em outras palavras, calcule o fluxo de F → através de S . Quando S é uma superfície fechada, admita que S está orientada pela normal exterior.

c )   F → x , y , z =   - x i → - y j → + z 2 k → e S é a parte do cone z = x 2 + y 2 entre os planos z = 1 e z = 2 , orientada de modo que sua normal N → satisfaz N → ⋅ k → < 0 ;

Passo 1

Faaaaala gente bonita do Responde Aí, como é que vocês estão? Tudo na paz?

Nessa questão precisamos calcular uma integral de superfície no caso vetorial.

No caso desse item temos a função vetorial:

F → x , y , z =   - x i → - y j → + z 2 k →

Além disso, a superfície S é a parte do cone z = x 2 + y 2 entre os planos z = 1 e z = 2 . Uma informação extra dada nesse item que nos ajuda bastante, é que a normal à superfície é que:

N → ⋅ k → < 0

Vocês lembram a receita do bolo pra calcular esse tipo de integral?

Hahaha! Então bora dar uma revisada nos passos!

Imagina que temos que calcular:

∫ ∫ S F → ⋅ N → d σ

1 )   Parametrizar a superfície S

ϕ ( u , v )

2 )   Escrever a função F → ( x , y , z ) como função da parametrização

F → ϕ u , v

3 )   Calcular o vetor normal à superfície, usando que:

N → =   ∂ ϕ ∂ u × ∂ ϕ ∂ v

4 )   Montar a integral:

∫ ∫ S F → ⋅ N → d σ = ∫ ∫ D F → ϕ u , v ⋅ ∂ ϕ ∂ u × ∂ ϕ ∂ v d u d v

5 )   Resolver como uma integral dupla normal!

Show de bola gente! Essa é a receitinha de bolo pra gente matar qualquer integral de superfície no caso vetorial.

Passo 2

Bom, vamos seguir as etapas que comentamos no passo anterior.

1 )   Parametrizar a superfície S

Como S é parte do cone:

z = x 2 + y 2

Podemos usar a parametrização em coordenadas polares. Assim:

x = r c o s   θ y = r s e n   θ

Logo, z será dado por:

z = r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 s e n 2 θ

= r

Como S está entre os planos z = 1 e z = 2 , teremos:

1 ≤ r ≤ 2

Além disso:

0 ≤ θ ≤ 2 π

Perfeito! Ficamos então com a função de parametrização:

ϕ r , θ = ( r c o s   θ ,   r s e n   θ ,   r )

Excelente!

2 )   Escrever a função F → ( x , y , z ) como função da parametrização:

No enunciado, recebemos:

F → x , y , z = - x i → - y j → + z 2 k →  

Substituindo pela nossa parametrização, vamos ter:

F → ϕ r , θ = - r c o s θ ⋅ i → - r s e n θ ⋅ j → + r 2 k →

Boaaaa!

3 )   Calcular o vetor normal à superfície

Temos:

ϕ r , θ = r c o s   θ ,   r s e n   θ ,   r

Assim:

∂ ϕ ∂ r = cos ⁡ θ ,   s e n   θ ,   1

E, temos também:

∂ ϕ ∂ θ = ( - r s e n   θ ,   r c o s θ ,   0 )

Logo, temos:

N → = i → j → k → cos ⁡ θ s e n   θ 1 - r s e n   θ r c o s   θ 0

= - r c o s θ ⋅ i → - r s e n θ ⋅ j → + r c o s 2 θ + r s e n 2 θ k →

N → = - r c o s θ ⋅ i → - r s e n θ ⋅ j → + r k →

Será que essa orientação do vetor normal está correta?

Podemos conferir isso usando a informação dada no enunciado que:

N → ⋅ k → < 0

Fazendo essa operação, temos:

N → ⋅ k → = r

Mas 1 ≤ r ≤ 2 , logo esse produto escalar deu maior do que zero. Portanto estamos com a orientação errada da superfície. Logo, nosso verdadeiro vetor normal vale:

N → = r c o s θ ⋅ i → + r s e n θ ⋅ j → - r k →

Beleza! Tudo tranquilo até aqui?

Passo 3

Vamos para a próxima etapa.

4 )   Montar a integral:

∫ ∫ S F → ⋅ N → d σ = ∫ ∫ D F → ϕ u , v ⋅ ∂ ϕ ∂ u × ∂ ϕ ∂ v d u d v

Reunindo todas as informações que usamos até aqui, temos a seguinte integral:

∫ 0 2 π ∫ 1 2 - r c o s θ ⋅ i → - r s e n θ ⋅ j → + r 2 k → ⋅ r c o s θ ⋅ i → + r s e n θ ⋅ j → - r k → d r d θ

Resolvendo o produto escalar no integrando, vamos ter:

- r c o s θ ⋅ i → - r s e n θ ⋅ j → + r 2 k → ⋅ r c o s θ ⋅ i → + r s e n θ ⋅ j → - r k →

=   - r 2 cos 2 ⁡ θ - r 2 s e n 2 θ - r 3

=   - r 2 - r 3

Assim, temos:

∫ 0 2 π ∫ 1 2 - r 2 - r 3 d r d θ

Nossa missão é resolver a integral acima.

Colocando ( - 1 ) pra fora da integral, ficamos com

- ∫ 0 2 π ∫ 1 2 r 2 + r 3 d r d θ

=   - θ 0 2 π ⋅ r 3 3 + r 4 4 1 2

=   - 2 π ⋅ 8 3 + 16 4 - 1 3 + 1 4

=   - 2 π ⋅ 7 3 + 15 4

Logo:

∫ 0 2 π ∫ 1 2 - r 2 - r 3 d r d θ

=   - 73 π 6

Prontinho pessoal, esse é o resultado da nossa integral de superfície no caso vetorial 😊

Espero que vocês tenham curtido a solução, até a próxima!

Resposta

- 73 π 6

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