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Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial

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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Volume 2 - 7ª Edição – Capítulo 16 – Seção 7 – Exercício 31

(Capítulo 16.7 – Exercício 31) Calcule a integral de superfície ∫ ∫ S   F ∙ d S para o campo vetorial F e superfície orientada S . Em outras palavras, determine o fluxo de F através de S . Para superfícies fechadas, use a orientação positiva (para fora).

F x ,   y ,   z = x 2   i + y 2   j + z 2   k   ,

S é a fronteira do semicilindro sólido 0 ≤ z ≤ 1 - y 2   ,     0 ≤ x ≤ 2   .

Passo 1

E aíí gente, tudo certinho?

Vamos lá pra mais um exercício de integrais de superfície beleza?

Queremos calcular o fluxo através de uma superfície S , que é a fronteira do semicilindro sólido 0 ≤ z ≤ 1 - y 2   ,     0 ≤ x ≤ 2   . ”

O fluxo ϕ de um campo é definido como

ϕ = ∬ S F → ⋅ d S →

Onde

d S → = - r → u × r → v d A

Sendo que r → u e r → v são os vetores que dão as direções da área d A que estamos calculando

Então vamos lá!!

Passo 2

Vamos pensar na nossa superfície S, podemos dividi-la em quatro “subsuperfícies” hahahaha:

S 1 - o topo da superfície: uma porção do cilindro y 2 + z 2 = 1 ;

S 2 - a parte inferior: uma porção do plano x y ;

S 3 - a metade do disco no plano x = 2 ;

S 4 - a metade do disco no plano x = 0

E aí calculamos a integral do fluxo para cada superfície e depois somamos tudo ok? Lembrando que F é dado por

F x ,   y ,   z = x 2   i + y 2   j + z 2   k

Passo 3

Então, em S 1 , a superfície é

y 2 + z 2 = 1

z = 1 - y 2 para 0 ≤ x ≤ 2   ,     - 1 ≤ y ≤ 1

Com orientação para cima. Ou seja,

∫ ∫ S 1   F ∙ d S = ∫ 0 2 ∫ - 1 1 - x 2 0 - y 2 - y 1 - y 2 + z 2 d y   d x = ∫ 0 2 ∫ - 1 1 y 3 1 - y 2 + 1 - y 2 d y   d x = ∫ 0 2 - 1 - y 2 + 1 - y 2 3 2 3 + y - y 3 3 y = - 1 y = 1 d x = ∫ 0 2 4 3   d x = 8 3

Passo 4

Em S 2 , a superfície é z = 0 com orientação para baixo, ou seja,

∫ ∫ S 2   F ∙ d S = ∫ 0 2 ∫ - 1 1 - z 2 d y   d x = ∫ 0 2 ∫ - 1 1 ( 0 ) d y   d x = 0

Passo 5

Em S 3 , a superfície é x = 2 para - 1 ≤ y ≤ 1   ,     0 ≤ z ≤ 1 - y 2   , orientada para o sentido positivo do eixo x . Podemos então escrever o seguinte:

r y ,   z = 2   i + y   j + z   k   ,             - 1 ≤ y ≤ 1   ,           0 ≤ z ≤ 1 - y 2

F r y ,   z = 4   i + y 2   j + z 2   k

r y × r z = i + 0   j + 0   k

Portanto,

∫ ∫ S 3   F ∙ d S = ∫ - 1 1 ∫ 0 1 - y 2 4   d z   d y = 4   .   A S 3 = 4   .   1 2 π 1 2 = 2 π

Passo 6

Por último, em S 4 , a superfície é x = 0 para - 1 ≤ y ≤ 1   ,     0 ≤ z ≤ 1 - y 2   , mas orientada para o sentido negativo do eixo x . Podemos então reaproveitar bastante coisa do passo anterior:

r y ,   z = 2   i + y   j + z   k   ,             - 1 ≤ y ≤ 1   ,           0 ≤ z ≤ 1 - y 2

F r y ,   z = 0   i + y 2   j + z 2   k

r z × r y = - r y × r z = - i + 0   j + 0   k

Portanto,

∫ ∫ S 4   F ∙ d S = ∫ - 1 1 ∫ 0 1 - y 2 0   d z   d y = 0

Finalmente, podemos somar tudo o que encontramos para as 4 subsuperfícies:

∫ ∫ S   F ∙ d S = ∑ i = 1 4 ∫ ∫ S i   F ∙ d S = 8 3 + 0 + 2 π + 0 = 2 π + 8 3

E arrasamos então!

Resposta

2 π + 8 3

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