1. Em cada item abaixo, calcule a derivada da função no ponto x_0 indicado.

h. f(x) = sen(5x) e x_0 = 0

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui precisamos calcular a derivada em um determinado ponto , f ' x 0 , usando a definição.

Para quem lembra o calculo é esse:

f ' x 0 = lim x → x 0 ⁡ f x - f x 0 x - x 0

Agora vamos aplicar para calcular o nosso f ' x 0 .

Passo 2

O enunciado nos forneceu quem são f x e x 0 . Substituindo na definição, ficamos com

f ' 0 = lim x → 0 ⁡ sin ⁡ 5 x - sin ⁡ 5 0 x - 0

Como sin ⁡ 0 = 0 ,

f ' 0 = lim x → 0 ⁡ sin ⁡ 5 x x

Se aplicarmos 0 nesse limite, caíremos em uma indeterminação do tipo 0 0 . Olha só:

f ' 0 = lim x → 0 ⁡ sin ⁡ 5 x x = 0 0

Então bora sair dessa indeterminação!

Passo 3

Temos o seguinte limte:

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ 5 x x

Pelo limite fundamental trigonométrico, temos aqui

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x x = 1

Mas repara que o nosso argumento de seno é 5 x e diferente do nosso denominador. Então, vamos multiplicar o nosso limite por 5 em cima e embaixo:

lim x → 0 ⁡ 5 sin ⁡ 5 x 5 x

Agora sim, podemos aplicar o nosso limite fundamental trigonométrico, pois

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ 5 x 5 x = 1

Juntando tudo,

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ 5 x x = lim x → 0 ⁡ 5 sin ⁡ 5 x 5 x = 5 1 = 5

Logo,

f ' 0 = 5

Resposta

5

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