Para cada uma das seguintes funçōes, calcule pela definição a sua função derivada:

c) h(x) = raiz(4x + 1)

Passo 1

Vamos calcular a derivada da função h ( x ) = 4 x + 1 usando a definição de derivada.A derivada de uma função h ( x ) em relação a x , denotada por h ' ( x ) ou d h d x , é definida pela seguinte expressão:

h ' ( x ) = l i m h → 0   h ( x + h ) - h ( x ) h

V a m o s   a p l i c a r   e s s a   d e f i n i ç ã o   à   f u n ç ã o   h ( x ) = 4 x + 1   :

h ' ( x ) = l i m h → 0   h ( x + h ) - h ( x ) h

= l i m h → 0   4 ( x + h ) + 1 - 4 x + 1 h

Passo 2

Para simplificar a expressão, vamos usar a fórmula de diferença de quadrados para o numerador:

= l i m h → 0   4 ( x + h ) + 1 - 4 x + 1 h ⋅ 4 ( x + h ) + 1 + 4 x + 1 4 ( x + h ) + 1 + 4 x + 1

= l i m h → 0   4 ( x + h ) + 1 - ( 4 x + 1 ) h ( 4 ( x + h ) + 1 + 4 x + 1 )

= l i m h → 0   4 h h ( 4 ( x + h ) + 1 + 4 x + 1 )

= l i m h → 0   4 4 ( x + h ) + 1 + 4 x + 1

Passo 3

A g o r a ,   p o d e m o s   s u b s t i t u i r   h = 0   n o   l i m i t e :

h ' ( x ) = 4 4 x + 1 + 4 x + 1

= 4 2 4 x + 1

= 2 4 x + 1

Portanto, a derivada da função h ( x ) = 4 x + 1 em relação a x é h ' ( x ) = 2 4 x + 1 . Isso significa que a taxa de variação instantânea da função h ( x ) em qualquer ponto é 2 4 x + 1 .

Resposta

significa que a taxa de variação instantânea da função h ( x ) em qualquer ponto é 2 4 x + 1 .

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