Para cada uma das seguintes funçōes, calcule pela definição a sua função derivada:

g) u(x) = 1 / raiz(2x + 3)

Passo 1

Vamos calcular a derivada da função u ( x ) = 1 2 x + 3 usando a definição de derivada.A derivada de uma função u ( x ) em relação a x , denotada por u ' ( x ) ou d u d x , é definida pela seguinte expressão:

u ' ( x ) = l i m h → 0   u ( x + h ) - u ( x ) h

V a m o s   a p l i c a r   e s s a   d e f i n i ç ã o   à   f u n ç ã o   u ( x ) = 1 2 x + 3   :

u ' ( x ) = l i m h → 0   u ( x + h ) - u ( x ) h

= l i m h → 0   1 2 ( x + h ) + 3 - 1 2 x + 3 h

Passo 2

Multiplicaremos o numerador e o denominador da fração por 2 ( x + h ) + 3 para eliminar o radical no denominador:

= l i m h → 0   2 ( x + h ) + 3 - 2 x + 3 h ⋅ 2 ( x + h ) + 3

= l i m h → 0   ( 2 ( x + h ) + 3 - 2 x + 3 ) ( 2 ( x + h ) + 3 + 2 x + 3 ) h ⋅ 2 ( x + h ) + 3 ⋅ ( 2 ( x + h ) + 3 + 2 x + 3 )

= l i m h → 0   2 ( x + h ) + 3 - 2 x - 3 h ⋅ 2 ( x + h ) + 3 ⋅ ( 2 ( x + h ) + 3 + 2 x + 3 )

= l i m h → 0   2 h h ⋅ 2 ( x + h ) + 3 ⋅ ( 2 ( x + h ) + 3 + 2 x + 3 )

= l i m h → 0   2 2 ( x + h ) + 3 ⋅ ( 2 ( x + h ) + 3 + 2 x + 3 )

Passo 3

A g o r a   p o d e m o s   s u b s t i t u i r   h = 0   n o   l i m i t e :

u ' ( x ) = 2 2 x + 3 ⋅ ( 2 x + 3 + 2 x + 3 )

= 2 2 ( 2 x + 3 ) 2

= 1 ( 2 x + 3 ) 2

= 1 2 x + 3

Portanto, a derivada da função u ( x ) = 1 2 x + 3 em relação a x é u ' ( x ) = 1 2 x + 3 . Isso significa que a taxa de variação instantânea da função u ( x ) em qualquer ponto é 1 2 x + 3 .

Resposta

significa que a taxa de variação instantânea da função u ( x ) em qualquer ponto é 1 2 x + 3 .

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