Se n ∈ N e f(x) = x^(1/n) , calcule f'(x) .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para calcular a derivada de f x = x 1 / n , sendo que n é um número natural.

Para isso, podemos utilizar a definição de derivada, ou seja:

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f ( x ) h

Onde h é o intervalo de variação.

Sempre é bom lembrar que a derivada de uma função em um ponto é definida como o limite da taxa de variação média da função em relação a x , à medida que o intervalo de variação se aproxima de zero!!

Agora é só aplicar para nossa função!

😉

Passo 2

Assim, aplicando a definição de derivada para nossa função f x = x 1 n , temos:

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h ∴

f ' x = lim h → 0 ⁡ x + h 1 n - x 1 n h

Podemos simplificar a expressão acima utilizando o binômio de Newton, que é dado por:

x + h 1 n = x 1 n + 1 n * x 1 n - 1 + 1 n * 1 n - 1 2 ! *   x 1 n   -   2 * h 2 + …

Assim, substituindo na fórmula da derivada, temos:

f ' x = lim h → 0 ⁡ x 1 n + 1 n * x 1 n - 1 + 1 n * 1 n - 1 2 ! *   x 1 n   -   2 * h 2 - x 1 n h ∴

f ' x = lim h → 0 ⁡ 1 n   *   x 1 n -   1   *   h   +   1 n * 1 n -   1 2 !   *   x 1 n -   2   *   h 2 h

Cancelando o termo h do numerador e do denominador:

f ' x = lim h → 0 ⁡ 1 n   *   x 1 n -   1   +   1 n   * 1 n -   1 2 !     *   x 1 n -   2   *   h ∴

Resolvendo o limite e simplificando, encontramos:

f ' x = 1 n   *   x 1 n -   1 ∴

f ' x = 1 n   *   x n  

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

f ' x = 1 n   *   x n  

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