Calcule, pela definição, f ' ( x ) e determine o domínio de f ' se

b )   f x = 1 x

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá essa função aqui

f x = 1 x

E pede:

Calcule PELA DEFINIÇÃO f ' ( x ) e determine seu DOMÍNIO

E agora, como fazer isso?

Através da definição de derivada! Você lembra dela?

Sabemos que a definição da derivada de uma função f ( x ) é dada pelo seguinte limite

f ' ( x ) = lim x → x 0 ⁡ f x - f ( x 0 ) x - x 0

Então a ideia é trocar x 0 pelos valores dados e calcular a derivada!

Ou também, se queremos ainda uma expressão genérica para derivada então vamos usar essa versão do limite

f ' ( x ) = lim h → 0 ⁡ f x + h - f ( x ) h

Particularmente eu prefiro a expressão genérica!

Você pode tentar fazer com a outra definição e conferir os resultados!

E o domínio? O domínio da função derivada é o mesmo domínio da função original! Sendo assim, podemos conferir se nosso resultado está certo!

Bora lá!

Passo 2

Nossa função é

f x = 1 x

E precisamos resolver esse limite

f ' ( x ) = lim h → 0 ⁡ f x + h - f ( x ) h

Então precisamos calcular f ( x + h ) :

f x + h = 1 x + h

Tranquilo?

Passo 3

Agora vamos jogar esse resultado no limite

f ' ( x ) = lim h → 0 ⁡ f x + h - f ( x ) h

= lim h → 0 ⁡ 1 x + h - 1 x h = lim h → 0 ⁡ x - ( x + h ) ( x + h ) x h

E por fim simplificar

= lim h → 0 ⁡ x - ( x + h ) ( x + h ) x . 1 h = lim h → 0 ⁡ - 1 ( x + h ) x

Quando h → 0 nosso limite fica

f ' x = - 1 x 2

E por fim podemos determinar o domínio dessa função: temos que em zero nem a função nem a derivada são válidas

D o m f ' = R - { 0 }

E é isso! Até a próxima!

Resposta

f ' x = - 1 x 2

D o m f ' = R - 0

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