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Exercícios Resolvidos de Definição de Derivadas

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Enunciado

UTFPR– Cálculo Diferencial e Integral I – REOF – Questão 4

Calcule a derivada da função abaixo utilizando a definição de derivadas

f x = 1 1 - x 2

Passo 1

Tudo bem galera? O problema nos deu essa função aqui

f x = 1 1 - x 2

E pediu para calcularmos sua derivada, até aqui tudo ok. Mas ele pede para utilizarmos a definição de derivada

Você lembra dela?

Vem comigo! Supondo uma função f ( x ) qualquer, a derivada dela é definida através do seguinte limite

lim h → 0 ⁡ f x + h - f ( x ) h

Então nossa missão é achar f ( x + h ) através da função dada, jogar aí nesse limite e calcular!

Fica tranquilo, vou fazer passo a passo com você!

Bora começar?

Passo 2

Nossa função é

f x = 1 1 - x 2

Agora ao invés de colocar x , vamos colocar ( x + h ) :

f x + h = 1 1 - x + h 2

Beleza até aqui?

No nosso limite temos que achar a diferença entre essas expressões

f x + h - f ( x )

Daí

1 1 - x + h 2 - 1 1 - x 2 = 1 - x 2 - 1 - x + h 2 1 - x + h 2 1 - x 2  

Ficou feio né?

Mas calma! Aos poucos vamos arrumando! Aqui vai um truque sujo que você sempre pode aplicar quando tem diferença/soma de raiz: racionalização! Vamos multiplicar e dividir pelo conjugado, pois assim em cima vamos ficar com a + b a - b = a 2 - b 2 e nos livrar das raízes! Saca só:

1 - x 2 - 1 - x + h 2 1 - x + h 2 1 - x 2   × ( 1 - x 2 + 1 - x + h 2 ) ( 1 - x 2 + 1 - x + h 2 ) = 1 - x 2 2 - 1 - x + h 2 2 1 - x + h 2 1 - x 2   . [ 1 - x 2 + 1 - x + h 2 ]

Parece que ficou pior, mas te garanto que estamos no caminho certo! Guarda esse resultado!

Passo 3

Vamos olhar separadamente o numerador:

1 - x 2 2 - 1 - x + h 2 2

Temos as raízes ao quadrado, então nossa expressão na verdade é mais simples

1 - x 2 - 1 - x + h 2

Agora vamos abrir o produto notável

1 - x 2 - 1 - x 2 - 2 x h - h 2 = 1 - x 2 - 1 + x 2 + 2 h x + h 2

E podemos simplificar os termos semelhantes

2 x h + h 2

Nosso numerador ficou muito mais simpático!

Isso mesmo! Quando racionalizamos, ficamos apenas com os termos dentro das raízes e podemos juntar e simplificar!

Passo 4

Retornando para nossa diferença f x + h - f ( x ) temos

1 - x 2 2 - 1 - x + h 2 2 1 - x + h 2 1 - x 2   . 1 - x 2 + 1 - x + h 2 = 2 x h + h 2 1 - x + h 2 1 - x 2   . 1 - x 2 + 1 - x + h 2

Mas o que precisamos mesmo calcular é essa razão aqui

f x + h - f x h

Pois é ela que vamos avaliar no limite quando h → 0 . Então vamos dividir nossa expressão por h e simplificar:

f x + h - f x h = 2 x h + h 2 h 1 - x + h 2 1 - x 2   . 1 - x 2 + 1 - x + h 2

= 2 x + h 1 - x + h 2 1 - x 2   . 1 - x 2 + 1 - x + h 2

Tudo bem até aqui?

chegou a hora! Vamos calcular o limite dessa coisa!

lim h → 0 ⁡ f x + h - f ( x ) h

lim h → 0 ⁡ 2 x + h 1 - x + h 2 1 - x 2   . 1 - x 2 + 1 - x + h 2

Quando h → 0 nosso numerador se resume a

2 x

E o denominador?

1 - x + h 2 1 - x 2   . 1 - x 2 + 1 - x + h 2

Quando h = 0 x + h 2 → x 2 , daí temos uma super simplificação

1 - x 2 1 - x 2   . 1 - x 2 + 1 - x 2

1 - x 2 2   . 2 1 - x 2 = 2 ( 1 - x 2 ) 1 - x 2

E podemos agrupar ainda ( 1 - x 2 ) em um mesmo expoente

= 2 1 - x 2 3

Retornando para nosso limite

lim h → 0 ⁡ 2 x + h 1 - x + h 2 1 - x 2   . 1 - x 2 + 1 - x + h 2

Em cima ficamos apenas com 2 x , embaixo ficamos apenas com 2 1 - x 2 3

= 2 x 2 1 - x 2 3 = x 1 - x 2 3

E é isso! Nosso resultado independe de h ! E se você for utilizar as regras de derivação que conhecemos, vai chegar no mesmo resultado!

E é isso galera! Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

d e m o n s t r a ç ã o

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