Calcule as derivadas das funções abaixo (nos pontos em que elas existem):

f(x) = a * x + b , com a, b ∈ R

f(x) = x^2

f(x) = |x|

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para calcular as derivadas de três funções distintas!!

Para isso, vamos olhar cada caso separadamente, belezinha?

Bora lá??!!

😉

Passo 2

Assim, para a primeira função, temos:

f x = a x + b

Onde a e b são constantes reais.

Nesse sentido, a derivada de uma função linear é igual ao coeficiente angular.

Portanto, a derivada de f ( x )   =   a x   +   b é f ' ( x )   =   a .

Aqui também poderíamos usar a regra da potência!

Mas pra não ficar muito cheio, vou te mostrar ela no Passo 3 com outra função, belezinha?

Passo 3

Para f x = x 2 , podemos aplicar a regra da potência, que é dada por:

g u = u n ∴ g ' u = n u n - 1

Assim aplicando em f x , temos:

f ' x = 2 x 2 - 1 ∴

f ' x = 2 x

Passo 4

Para f x = x , sabemos que ela não é diferenciável em x = 0 pois há uma descontinuidade nesse ponto.

No entanto, podemos calcular as derivadas em   x   >   0 e   x   <   0 separadamente.

  • Para x > 0 :
  • Nesse intervalo, a função f ( x )   =   | x | é igual a x .

    Portanto, aplicando a regra da potência, a derivada é f ' ( x )   =   1 .

  • Para x < 0 :

Nesse intervalo, a função f ( x )   =   | x | é igual a - x .

Portanto, aplicando a regra da potência, a derivada é f ' x =   - 1 .

Dessa forma, podemos dizer que a derivada de f x = x é dada por:

f ' x = - 1 ,     x < 0 1 ,     x > 0

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

f ' x =   a

f ' x = 2 x

f ' x = - 1 ,     x < 0 1 ,     x > 0

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