UFPE – Cálculo 1 – 1º EE – 2022.1 – Questão 3b.
3) Calcule, usando a definição, a derivada das seguintes funções no ponto indicado:
b)
Passo 1
Fala aí, galerinha! Tudo belezinha com vocês?
Bom, essa questão deu pra gente uma função e pediu pra calcular a sua derivada no ponto usando a definição. Então o que devemos fazer é aplicar a seguinte relação:
Então, bora comigo que te ajudo com isso!
Passo 2
Como a derivada que queremos calcular é
teremos:
Podemos ajustar um pouco
E ficamos com
Como temos a soma de três termos na parte de cima e apenas um termo na parte de baixo, podemos separar e escrever:
Show, agora vamos nos preocupar em resolver esses limites aí.
Passo 3
Resolvendo cada limite separadamente, teremos:
Opa! Caímos em uma indeterminação. E para sair dela, vamos multiplicar nossa função pelo conjugado do numerador. Assim
E teremos:
E finalmente
Cortando
E aplicando o limite de , teremos:
Maravilha, vamos resgatar o outro limite que estávamos precisando calcular.
Passo 4
Lembra que estamos atrás de
Então, teremos:
E prontinho! Encontramos nossa resposta!