Calcule f ' ( a ) usando a definição, nos seguintes casos:

b) f y = 4 / y ; a = - 1

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a derivada da função f ( y ) no ponto a , usando a definição de derivada. Mas como é essa definição mesmo?

Bom, para f ' ( a ) , temos a seguinte a definição:

f ' a = lim y → a ⁡ f y - f ( a ) y - a

Então, basta a gente substituir a função e o valor da função no ponto e calcular o limite.

Vamos lá!

Passo 2

Nossa função é dada por:

f y = 4 y

Assim, para a = - 1 , temos:

f a = f - 1 = - 4 .

Nós queremos encontrar f ' ( a ) para a = - 1 . Então, usando a definição do passo 1 e substituindo f y e f - 1 , teremos:

f ' - 1 = lim y → - 1 ⁡ 4 y - ( - 4 ) y - ( - 1 )

f ' - 1 = lim y → - 1 ⁡ 4 y + 4 y + 1 = lim y → - 1 ⁡ 4 y + 4 y y + 1

Fazendo a divisão de frações:

f ' - 1 = lim y → - 1 ⁡ 4 y + 4 y ∙ 1 y + 1

= lim y → - 1 ⁡ 4 ( y + 1 ) y ( y + 1 )

Simplificando:

f ' - 1 = lim y → - 1 ⁡ 4 y

E aplicando o limite:

f ' - 1 = 4 - 1

f ' - 1 = - 4

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

- 4

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