Calcule f ' ( a ) usando a definição, nos seguintes casos:

d) f u = u u 3 ; a = 1

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a derivada da função f ( u ) no ponto a , usando a definição de derivada. Mas como é essa definição mesmo?

Bom, para f ' ( a ) , temos a seguinte a definição:

f ' a = lim u → a ⁡ f u - f ( a ) u - a

Então, basta a gente substituir a função e o valor da função no ponto e calcular o limite.

Vamos lá!

Passo 2

Nossa função é dada por:

f u = u u 3

Assim, para a = 1 , temos:

f a = f 1 = 1 ∙ 1 3 = 1

Nós queremos encontrar f ' ( a ) para a = 1 . Então, usando a definição do passo 1 e substituindo f u e f 1 , teremos:

f ' 1 = lim u → 1 ⁡ u u 3 - 1 u - 1

Pra fugir dessa indeterminação, vamos precisar usar a regra de L’Hospital. Assim, derivando numerador e denominador separadamente, temos:

f ' 1 = lim u → 1 ⁡ 4 u 3 3 1

f ' 1 = lim u → 1 ⁡ 4 u 3 3

Então, aplicando o limite, vamos obter:

f ' 1 = 4 1 3 3

f ' 1 = 4 3

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

4 3

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