Calcule f'(a) usando a definição, nos seguintes casos:

e) f(v) = 2v / (v - 3); a = 2

Passo 1

e. Vamos calcular a derivada de f ( v ) = 2 v v - 3 no ponto a = 2 usando a definição de derivada. A definição de derivada é dada por:

f ' ( a ) = l i m h → 0   f ( a + h ) - f ( a ) h

Neste caso, temos f ( v ) = 2 v v - 3 e a = 2 . Substituindo esses valores na definição de derivada, temos:

f ' ( 2 ) = l i m h → 0   f ( 2 + h ) - f ( 2 ) h

f ' ( 2 ) = l i m h → 0   2 ( 2 + h ) 2 + h - 3 - 2 ( 2 ) 2 - 3 h

f ' ( 2 ) = l i m h → 0   4 + 2 h h - 1 + 4 h

Passo 2

A g o r a ,   s i m p l i f i c a m o s   a   e x p r e s s ã o   n o   n u m e r a d o r :

f ' ( 2 ) = l i m h → 0   4 + 2 h + 4 h - 4 h ( h - 1 )

f ' ( 2 ) = l i m h → 0   6 h h ( h - 1 )

Passo 3

C a n c e l a m o s   u m   f a t o r   d e   h   n o   n u m e r a d o r   e   n o   d e n o m i n a d o r :

f ' ( 2 ) = l i m h → 0   6 h - 1

A g o r a ,   s u b s t i t u í m o s   h = 0   n o   l i m i t e :

f ' ( 2 ) = 6 0 - 1 = - 6

P o r t a n t o ,   a   d e r i v a d a   d e   f ( v ) = 2 v v - 3   n o   p o n t o   a = 2   é   f ' ( 2 ) = - 6 .

Resposta

P o r t a n t o ,   a   d e r i v a d a   d e   f ( v ) = 2 v v - 3   n o   p o n t o   a = 2   é   f ' ( 2 ) = - 6 .

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