Calcule f ' ( a ) usando a definição, nos seguintes casos:

f) f ( t ) = t - t ;   a = 8

Passo 1

Vamos calcular a derivada de f ( t ) = t - t no ponto a = 8 usando a definição de derivada. A definição de derivada é dada por:

f ' ( a ) = l i m h → 0   f ( a + h ) - f ( a ) h

Neste caso, temos f ( t ) = t - t e a = 8 . Substituindo esses valores na definição de derivada, temos:

f ' ( 8 ) = l i m h → 0   f ( 8 + h ) - f ( 8 ) h

f ' ( 8 ) = l i m h → 0   ( 8 + h ) - 8 + h - ( 8 - 8 ) h

f ' ( 8 ) = l i m h → 0   h - ( 8 + h - 8 ) h

Passo 2

A g o r a ,   m u l t i p l i c a m o s   e   d i v i d i m o s   p o r   8 + h + 8   :

f ' ( 8 ) = l i m h → 0   h - ( 8 + h - 8 ) h ⋅ 8 + h + 8 8 + h + 8

f ' ( 8 ) = l i m h → 0   h ( 8 + h + 8 ) - ( 8 + h - 8 ) h ( 8 + h + 8 )

f ' ( 8 ) = l i m h → 0   h 8 + h + h 8 - 8 + h + 8 h ( 8 + h + 8 )

Passo 3

A g o r a ,   s i m p l i f i c a m o s   a   e x p r e s s ã o   n o   n u m e r a d o r :

f ' ( 8 ) = l i m h → 0   h 8 + h - 8 + h + ( h + 1 ) 8 h ( 8 + h + 8 )

f ' ( 8 ) = l i m h → 0   ( h - 1 ) 8 + h + ( h + 1 ) 8 h ( 8 + h + 8 )

A g o r a ,   f a t o r a m o s   ( h - 1 )   n o   n u m e r a d o r :

f ' ( 8 ) = l i m h → 0   ( h - 1 ) ( 8 + h + 8 ) h ( 8 + h + 8 )

Passo 4

A g o r a ,   c a n c e l a m o s   ( 8 + h + 8 )   n o   n u m e r a d o r   e   n o   d e n o m i n a d o r :

f ' ( 8 ) = l i m h → 0   h - 1 h

A g o r a ,   s u b s t i t u í m o s   h = 0   n o   l i m i t e :

f ' ( 8 ) = 0 - 1 0

No entanto, o denominador h se torna zero, o que significa que a derivada no ponto a = 8 usando a definição não pode ser calculada diretamente dessa forma. Nesse caso, precisaríamos recorrer a técnicas avançadas, como a Regra de L'Hôpital, para calcular essa derivada.

Resposta

No entanto, o denominador h se torna zero, o que significa que a derivada no ponto a = 8 usando a definição não pode ser calculada diretamente dessa forma. Nesse caso, precisaríamos recorrer a técnicas avançadas, como a Regra de L'Hôpital, para calcular essa derivada.

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