Calcule f ' ( a ) usando a definição, nos seguintes casos:

h) f ( x ) = x + 5 1 - x ;   a = 4

Passo 1

Vamos calcular a derivada de f ( x ) = x + 5 1 - x no ponto a = 4 usando a definição de derivada. A definição de derivada é dada por:

f ' ( a ) = l i m h → 0   f ( a + h ) - f ( a ) h

Neste caso, temos f ( x ) = x + 5 1 - x e a = 4 . Substituindo esses valores na definição de derivada, temos:

f ' ( 4 ) = l i m h → 0   f ( 4 + h ) - f ( 4 ) h

f ' ( 4 ) = l i m h → 0   4 + h + 5 1 - ( 4 + h ) - 4 + 5 1 - 4 h

f ' ( 4 ) = l i m h → 0   h + 9 - h - 9 - 3 h

f ' ( 4 ) = l i m h → 0   - h + 9 h + 3 h

Passo 2

Agora, simplificamos a expressão no numerador:

f ' ( 4 ) = l i m h → 0   - 1 - 9 h + 3 h

f ' ( 4 ) = l i m h → 0   2 - 9 h h

A g o r a ,   f a t o r a m o s   - 9 h   n o   n u m e r a d o r :

f ' ( 4 ) = l i m h → 0   h 2 - 9 h h 2

C a n c e l a m o s   u m   f a t o r   d e   h   n o   n u m e r a d o r   e   n o   d e n o m i n a d o r :

f ' ( 4 ) = l i m h → 0   2 h - 9 h 2

Passo 3

A g o r a ,   s u b s t i t u í m o s   h = 0   n o   l i m i t e :

f ' ( 4 ) = 2 ( 0 ) - 9 0 2

No entanto, o denominador h 2 se torna zero, o que significa que a derivada no ponto a = 4 usando a definição não pode ser calculada diretamente dessa forma. Nesse caso, precisaríamos recorrer a técnicas avançadas, como a Regra de L'Hôpital, para calcular essa derivada.

Resposta

No entanto, o denominador h 2 se torna zero, o que significa que a derivada no ponto a = 4 usando a definição não pode ser calculada diretamente dessa forma. Nesse caso, precisaríamos recorrer a técnicas avançadas, como a Regra de L'Hôpital, para calcular essa derivada.

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