Calcule f ' ( a ) usando a definição, nos seguintes casos:

a) f ( x ) = x 2 - 5 ;   a = 2

Passo 1

a. Vamos calcular a derivada de f ( x ) = x 2 - 5 no ponto a = 2 usando a definição de derivada. A definição de derivada é dada por:

f ' ( a ) = l i m h → 0   f ( a + h ) - f ( a ) h

Neste caso, temos f ( x ) = x 2 - 5 e a = 2 . Substituindo esses valores na definição de derivada, temos:

f ' ( 2 ) = l i m h → 0   f ( 2 + h ) - f ( 2 ) h

f ' ( 2 ) = l i m h → 0   ( 2 + h ) 2 - 5 - 2 2 - 5 h

f ' ( 2 ) = l i m h → 0   4 + 4 h + h 2 - 5 - ( 4 - 5 ) h

f ' ( 2 ) = l i m h → 0   4 h + h 2 h

Passo 2

A g o r a ,   f a t o r a m o s   u m   h   n o   n u m e r a d o r :

f ' ( 2 ) = l i m h → 0   h ( 4 + h ) h

C a n c e l a m o s   u m   h   n o   n u m e r a d o r   e   n o   d e n o m i n a d o r :

f ' ( 2 ) = l i m h → 0   ( 4 + h )

F i n a l m e n t e ,   s u b s t i t u í m o s   h = 0   n o   l i m i t e :

f ' ( 2 ) = 4 + 0 = 4

P o r t a n t o ,   a   d e r i v a d a   d e   f ( x ) = x 2 - 5   n o   p o n t o   a = 2   é   f ' ( 2 ) = 4 .

Resposta

P o r t a n t o ,   a   d e r i v a d a   d e   f ( x ) = x 2 - 5   n o   p o n t o   a = 2   é   f ' ( 2 ) = 4 .

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