Calcule f'(a) usando a definição, nos seguintes casos:

c) f(z) = raiz(z - 5); a = 9

Passo 1

c. Vamos calcular a derivada de f ( z ) = z - 5 no ponto a = 9 usando a definição de derivada. A definição de derivada é dada por:

f ' ( a ) = l i m h → 0   f ( a + h ) - f ( a ) h

Neste caso, temos f ( z ) = z - 5 e a = 9 . Substituindo esses valores na definição de derivada, temos:

f ' ( 9 ) = l i m h → 0   f ( 9 + h ) - f ( 9 ) h

f ' ( 9 ) = l i m h → 0   9 + h - 5 - 9 - 5 h

f ' ( 9 ) = l i m h → 0   h + 4 - 2 h

Passo 2

M u l t i p l i c a m o s   e   d i v i d i m o s   p o r   h + 4 + 2   :

f ' ( 9 ) = l i m h → 0   h + 4 - 2 h ⋅ h + 4 + 2 h + 4 + 2

f ' ( 9 ) = l i m h → 0   h + 4 - 4 h ( h + 4 + 2 )

f ' ( 9 ) = l i m h → 0   h h ( h + 4 + 2 )

Passo 3

C a n c e l a m o s   h   n o   n u m e r a d o r   e   n o   d e n o m i n a d o r :

f ' ( 9 ) = l i m h → 0   1 h + 4 + 2

A g o r a ,   s u b s t i t u í m o s   h = 0   n o   l i m i t e :

f ' ( 9 ) = 1 0 + 4 + 2 = 1 2 + 2 = 1 4

P o r t a n t o ,   a   d e r i v a d a   d e   f ( z ) = z - 5   n o   p o n t o   a = 9   é   f ' ( 9 ) = 1 4 .

Resposta

P o r t a n t o ,   a   d e r i v a d a   d e   f ( z ) = z - 5   n o   p o n t o   a = 9   é   f ' ( 9 ) = 1 4 .

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