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Exercícios Resolvidos de Definição de Derivadas

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Enunciado

UFPE, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - 1ª Lista - 2023.1

Calcule f ' ( a ) usando a definição, nos seguintes casos:

d) f ( u ) = u u 3 ;   a = 1

Passo 1

Vamos calcular a derivada de f ( u ) = u u 3 no ponto a = 1 usando a definição de derivada. A definição de derivada é dada por:

f ' ( a ) = l i m h → 0   f ( a + h ) - f ( a ) h

Neste caso, temos f ( u ) = u u 3 e a = 1 . Substituindo esses valores na definição de derivada, temos:

f ' ( 1 ) = l i m h → 0   f ( 1 + h ) - f ( 1 ) h

f ' ( 1 ) = l i m h → 0   ( 1 + h ) 1 + h 3 - ( 1 ⋅ 1 3 ) h

f ' ( 1 ) = l i m h → 0   ( 1 + h ) 1 + h 3 - 1 h

Passo 2

A g o r a ,   m u l t i p l i c a m o s   e   d i v i d i m o s   p o r   ( 1 + h ) 2 3 + 1 + h 3 + 1   :

f ' ( 1 ) = l i m h → 0   ( 1 + h ) 1 + h 3 - 1 h ⋅ ( 1 + h ) 2 3 + 1 + h 3 + 1 ( 1 + h ) 2 3 + 1 + h 3 + 1

f ' ( 1 ) = l i m h → 0   ( 1 + h ) 2 - 1 h ( 1 + h ) 2 3 + 1 + h 3 + 1

f ' ( 1 ) = l i m h → 0   h 2 + 2 h h ( 1 + h ) 2 3 + 1 + h 3 + 1

Passo 3

A g o r a ,   c a n c e l a m o s   h   n o   n u m e r a d o r   e   n o   d e n o m i n a d o r :

f ' ( 1 ) = l i m h → 0   h + 2 ( 1 + h ) 2 3 + 1 + h 3 + 1

A g o r a ,   s u b s t i t u í m o s   h = 0   n o   l i m i t e :

f ' ( 1 ) = 0 + 2 ( 1 + 0 ) 2 3 + 1 + 0 3 + 1 = 2 3

P o r t a n t o ,   a   d e r i v a d a   d e   f ( u ) = u u 3   n o   p o n t o   a = 1   é   f ' ( 1 ) = 2 3 .

Resposta

P o r t a n t o ,   a   d e r i v a d a   d e   f ( u ) = u u 3   n o   p o n t o   a = 1   é   f ' ( 1 ) = 2 3 .

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