- Considere uma função com .
- Mostre que se é diferenciável num ponto então é contínua em .
- Se é contínua em então é diferenciável em ? Se sim, prove. Se não, dê um contra-exemplo.
Passo 1
- Oi, galerinha! Tudo bom? Primeiro temos que mostrar que é diferenciável num ponto então é contínua em .
- Então, galerinha, essa afirmação é falsa! Considere, por exemplo, a função . Sabemos que ela é continua em , pois
Para isso, vamos considerar um ponto no qual é difrenciavel ali. Assim existe o limiteAssim existe o limite
E pela definição este limite é igual a . Deste modo, usando propriedades de soma e produtos em limites, temos
Já que
Temos
E
Portanto,
O que mostra que é continua em .
Passo 2
Mas,
E pelo outro lado, temos
Logo, se os limites laterais são diferentes, o limite não existe e portanto não é diferenciavel em .
Resposta
No texto
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