1. Considere uma função f: (a, b) → R com a < b .
  1. Mostre que se f é diferenciável num ponto x₀ ∈ (a, b) então f é contínua em x0 .
  2. Se f é contínua em x₀ então f é diferenciável em x₀ ? Se sim, prove. Se não, dê um contra-exemplo.

Passo 1

  1. Oi, galerinha! Tudo bom? Primeiro temos que mostrar que f é diferenciável num ponto x 0 ∈ a , b então f é contínua em x 0 .
  2. Para isso, vamos considerar um ponto x 0 ∈ a , b no qual f é difrenciavel ali. Assim existe o limiteAssim existe o limite

    lim x → x 0 ⁡ f x - f x 0 x - x 0

    E pela definição este limite é igual a f ' x 0 . Deste modo, usando propriedades de soma e produtos em limites, temos

    lim x → x 0 ⁡ f x = lim x → x 0 ⁡ f x - f x 0 + f x 0

    = lim x → x 0 ⁡ f x - f x 0 x - x 0 x - x 0 + f x 0 = f x 0

    Já que lim x → x 0 ⁡ f x - f x 0 x - x 0 = f ' x 0

    Temos

    lim x → x 0 ⁡ x - x 0 = 0

    E

    lim x → x 0 ⁡ f x 0 = f x 0

    Portanto,

    lim x → x 0 ⁡ f x = f x 0

    O que mostra que f é continua em x 0 .

    Passo 2

  3. Então, galerinha, essa afirmação é falsa! Considere, por exemplo, a função f x = | x | . Sabemos que ela é continua em x 0 = 0 , pois

lim x → 0 ⁡ | x | = 0

Mas,

lim x → 0 + ⁡ f x - f x 0 x = lim x → 0 + ⁡ | x | x = 1

E pelo outro lado, temos

lim x → 0 - ⁡ f x - f x 0 x = lim x → 0 - ⁡ | x | x = - 1

Logo, se os limites laterais são diferentes, o limite não existe e portanto f não é diferenciavel em x 0 = 0 .

Resposta

No texto

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