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Exercícios Resolvidos de Definição de Derivadas

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Enunciado

USP – Cálculo I – IME – 2021.1 – Q6

Considere as funções f x = a x 3 + b x 2 + c x + d e g x = m x + s e n ( x ) , onde a , b , c , d ,   e   m são constantes reais e a > 0 . Decida a veracidade das afirmações abaixo:

  • Se m ≤ - 1 , então g é estritamente crescente
  • Se b 2 - 3 a c > 0 , então f possui exatamente um ponto de máximo e um ponto de mínimo local
  • Se b 2 - 3 a c = 0 , então f possui um único ponto crítico que não é ponto de máximo ou mínimo local
  • Se b 2 - 3 a c < 0 , então f é estritamente decrescente
  • A derivada de g é uma função limitada

    • Passo 1

    E aí, galerinha! Tudo na paz por aí?

    Vamos aqui ter que avaliar uma por uma das alternativas e usando a teoria que conhecemos, aplicar nossos conhecimentos e ver se são verdadeiras ou falsas. O enunciado não pede, mas vamos justificar todas elas pra gente ter sempre uma ideia do que estamos fazendo.

    Passo 2

  • Se m ≤ - 1 , então g é estritamente crescente

    • Falsa, pois se m ≤ - 1 ,   então g ' x = m + cos ⁡ x ≤ 0 . Logo, g não pode ser estritamente crescente.

  • e b 2 - 3 a c > 0 , então f possui exatamente um ponto de máximo e um ponto de mínimo local

    • Verdadeira. Agora f ' ( x ) tem duas raízes, sendo negativa somente no intervalo entre essas raízes. Uma análise do crescimente da função garante o resultado.

  • Se b 2 - 3 a c = 0 , então f possui um único ponto crítico que não é ponto de máximo ou mínimo local

    • Verdadeira. Aproveitando até o que discutimos anteriormente, a condição garante que f ' x ≥ 0 (uma única raiz dupla) e portanto, sempre crescente, com um único ponto crítico.

  • Se b 2 - 3 a c < 0 , então f é estritamente decrescente

    • Falsa, pois f ' x = 3 a x 2 + 2 b x + c tem discriminante 4 ( b 2 - 3 a c ) que, se negativo garante f ' x > 0 para todo x ∈ R , logo f é estritamente crescente.

  • A derivada de g é uma função limitada

Verdadeira, pois g ' x = m + c o s ⁡ ( x ) e portanto, g ' x ≤ m + 1

Resposta

Explicações

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