UFF, Sem Campus, Cálculo IA, P1 - 2022.2, Questão 3.
3 – Dada a função abaixo responda:
a) Domínio de .
b) A função inversa de .
c) Determine a derivada pela definição. (não utilizar o teorema de ).
Passo 1
Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍
Nesse problema queremos obter o domínio da função , assim como a função inversa e determinar derivando pela definição.
Como podemos fazer isso? 👀
O domínio de uma função é dado pelos possíveis valores de que é possível atribuir sem que a função fique indefinida.
A função inversa é obtida trocando e de lugar e isolamos novamente.
Já a derivada de uma função pela definição é dada pela fórmula
Entendeu? Bora começar!
Passo 2
Analisando a função , vemos que pode receber valores maiores ou igual a , já que o resultado dentro da raiz deve ser maior ou igual a e valores menores que não pertencem ao conjunto dos reais.
Bacana, não é? 😎
Agora vamos obter a função inversa de . Se então
Trocando e ...
Elevando os dois lados ao quadrado para simplificar a raiz
Resultando em...
Tranquilo até aqui? 😊
Passo 3
Agora calculamos a derivada de a partir da definição
Multiplicando em cima e em baixo pelo conjugado de
Simplificando...
Substituindo por
E por fim, substituindo por
E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí
Resposta
a)
b)
c)