UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Profº Ricardo Martins - Lista sobre Integrais, Questão 1.3
Encontre uma função tal que e .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente encontrar uma função tal que a derivada dessa função seja igual a . Isso nos lembra a definição de primitiva, né? Que nos diz que uma função é denominada uma primitiva de em um intervalo se para todo nesse intervalo.
Lembra que quando achamos uma primitiva acrescentamos a constante aleatória no resultado, certo? Só que agora ele nos deu um valor , que é uma condição inicial. Por isso chamamos esse tipo de problema de problema de valor inicial, ou PVI. Esse valor inicial vai nos permitir encontrar o valor da constante .
Então, vamos achar uma primitiva para a função, que quando derivada seja igual a duas vezes ela mesma. Depois vamos aplicar o ponto , para encontrar o valor da constante.
Vamos lá!
Passo 2
Galera, quando a gente pensa em uma função que derivada dar ela mesma, nos vem logo na cabeça a função exponencial, certo? Porque para , temos:
Mas a gente quer que , então vamos adicionar no expoente, porque aí vamos ter:
Então, a primitiva da função vai ser:
Fazendo , temos:
Isolando :
Então, nossa função será:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉