Se f’(a) existe, prove que f’(a) = l i m Δ x → 0 f ( a + Δ x ) - f ( a - Δ x ) 2 ⋅ Δ x

Passo 1

Eaew, belezinha?

A questão pede para a gente provar que, se a derivada da função f existe no ponto x = a, então, essa derivada pode ser escrita como l i m Δ x → 0 f ( a + Δ x ) - f ( a - Δ x ) 2 ⋅ Δ x . Primeiro, começamos expandindo a função f(x) em série de Taylor:

f ( x ) = f ( a ) + f ' ( a ) ( x - a ) + 1 2 f ' ' ( a ) ( x - a ) ² + . . .

Se definirmos a variação Δ x como Δ x = x - a , podemos escrever x = Δ x + a . Assim, podemos escrever a expansão acima como

f ( a + Δ x ) = f ( a ) + f ' ( a ) Δ x + . . .

Onde as reticências representam termos de ordem superior, que serão desprezados, pois iremos tomar o limite de Δ x muito pequeno.

Por outro lado, se definirmos uma segunda variação, igual à primeira em módulo, como - Δ x = x - a , temos que x = a - Δ x . Então, podemos escrever a expansão de Taylor da função f(x) como

f ( a - Δ x ) = f ( a ) - f ' ( a ) Δ x + . . .

Ou seja, estamos expandindo a função f(x) em série de Taylor em primeira ordem ao redor de pontos diferentes. Agora, nós podemos fazer operações com essas expansões e também ver o que ocorre quando fizermos essas variações tenderem a zero. Então bora lá ver o que que a gente acha!

Passo 2

Se subtrairmos a segunda expansão da primeira, obtemos:

f ( a + Δ x ) - f ( a - Δ x ) = f ( a ) - f ( a ) + 2 f ' ( a ) Δ x = 2 f ' ( a ) Δ x

Dividindo ambos os lados por 2 Δ x e, tirando o limite quando Δ x → 0 , ou seja, fazendo ambas as expansões tenderem a uma expansão ao redor do mesmo valor de x = a, obtemos que:

l i m Δ x → 0 f ( a + Δ x ) - f ( a - Δ x ) 2 Δ x = f ' ( a )

Como queríamos mostrar.

Resposta

Desenvolvida ao longo da questão

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