UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Listas de C1 - Profº Rubens Sucupira - Lista 3, Questão 11
Se f’(a) existe, prove que f’(a) =
Passo 1
Eaew, belezinha?
A questão pede para a gente provar que, se a derivada da função f existe no ponto x = a, então, essa derivada pode ser escrita como . Primeiro, começamos expandindo a função f(x) em série de Taylor:
Se definirmos a variação como , podemos escrever . Assim, podemos escrever a expansão acima como
Onde as reticências representam termos de ordem superior, que serão desprezados, pois iremos tomar o limite de muito pequeno.
Por outro lado, se definirmos uma segunda variação, igual à primeira em módulo, como , temos que . Então, podemos escrever a expansão de Taylor da função f(x) como
Ou seja, estamos expandindo a função f(x) em série de Taylor em primeira ordem ao redor de pontos diferentes. Agora, nós podemos fazer operações com essas expansões e também ver o que ocorre quando fizermos essas variações tenderem a zero. Então bora lá ver o que que a gente acha!
Passo 2
Se subtrairmos a segunda expansão da primeira, obtemos:
Dividindo ambos os lados por e, tirando o limite quando , ou seja, fazendo ambas as expansões tenderem a uma expansão ao redor do mesmo valor de x = a, obtemos que:
Como queríamos mostrar.
Resposta
Desenvolvida ao longo da questão