UFABC. Cálculo. Funções de Várias Variáveis. Lista 5 - Pontos Críticos, Máximos e Mínimos, Multiplicadores de Lagrange. Questão 3.
3 - Foi encomendado para sua empresa o projeto de um tanque para gás liquefeito de petróleo. As especificações do cliente pedem um tanque cilíndrico com extremidades hemisféricas que contenham de gás. O cliente também quer usar a menor quantidade possível de material para construir o tanque. Qual raio e altura da parte cilíndrica você recomendaria para o tanque?
Passo 1
Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍
Esse tipo de questão é muito comum nesse conteúdo, pois a maximização de recursos são problemas muito presente na vida de um engenheiro.
Temos que construir um tanque com extremidades hemisféricas que contenha de volume. Queremos atingir esse volume usando a menor quantidade possível de matérias, até porque dinheiro está difícil 😢
Antes de tudo, você tem ideia da forma que esse cilindro tem?? Foi dito que as extremidades são hemisféricas, isso significa que estamos falando de um cilindro com as pontas arredondadas, como se fosse uma salsicha de .
Antes de começarmos, vamos definir a equação que descreve o volume desse cilindro?
Nas extremidades temos duas semiesferas formando uma esfera completa, logo
Já a área de um cilindro com a área de uma esfera é dada por
é a altura do cilindro e seu raio, que é o mesmo raio da esfera.
Passo 2
Queremos a menor área possível, então vamos usar a equação da área para inserir a equação do volume.
Pra isso, vamos isolar em e substituir em .
Em , vamos ter
Simplificando um pouquinho, vamos ter
Tranquilo até aqui? 😎
Passo 3
Queremos saber o valor de que minimiza a área, logo temos que derivar em relação a e igualar a . Assim como fazemos para encontrar os pontos críticos de uma função.
Lembrando que a derivada da soma é igual a soma das derivadas, então
Podemos escrever como , derivando como um polinômio. Multiplicando a variável pela potência e subtraindo do expoente, temos
Seguindo a mesma ideia a derivada de é
Substituindo esses resultados em , temos
Alguma novidade até aqui?
Passo 4
Vamos igualar nossa derivada a e obter a solução
Simplificando o resultado, temos
Substituindo esse valor na equação de , temos
Com isso, encontramos que os valores de e para construir esse cilindro com a menor área possível é se o raio for e a altura . Ou seja, deve ser uma esfera e não um cilindro!
É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌
