3 - Foi encomendado para sua empresa o projeto de um tanque para gás liquefeito de petróleo. As especificações do cliente pedem um tanque cilíndrico com extremidades hemisféricas que contenham 8.000   m 3 de gás. O cliente também quer usar a menor quantidade possível de material para construir o tanque. Qual raio R e altura h da parte cilíndrica você recomendaria para o tanque?

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Esse tipo de questão é muito comum nesse conteúdo, pois a maximização de recursos são problemas muito presente na vida de um engenheiro.

Temos que construir um tanque com extremidades hemisféricas que contenha 8.000   m 3 de volume. Queremos atingir esse volume usando a menor quantidade possível de matérias, até porque dinheiro está difícil 😢

Antes de tudo, você tem ideia da forma que esse cilindro tem?? Foi dito que as extremidades são hemisféricas, isso significa que estamos falando de um cilindro com as pontas arredondadas, como se fosse uma salsicha de 8.000   m 3 .

Antes de começarmos, vamos definir a equação que descreve o volume desse cilindro?

Nas extremidades temos duas semiesferas formando uma esfera completa, logo

V = π r 2 h + 4 3 π r 3 = 8000

Já a área de um cilindro com a área de uma esfera é dada por

A = 2 π r h + 4 π r 2

h é a altura do cilindro e r seu raio, que é o mesmo raio da esfera.

Passo 2

Queremos a menor área possível, então vamos usar a equação da área para inserir a equação do volume.

Pra isso, vamos isolar h em V e substituir em A .

π r 2 h + 4 3 π r 3 = 8000

h = 8000 π r 2 - 4 3 π r 3 π r 2

h = 8000 π r 2 - 4 3 r

Em A , vamos ter

A = 2 π r h + 4 π r 2

A = 2 π r 8000 π r 2 - 4 3 r + 4 π r 2

Simplificando um pouquinho, vamos ter

A = 16 000 r - 8 3 π r 2 + 4 π r 2

A = 16000 r + 4 3 π r 2

Tranquilo até aqui? 😎

Passo 3

Queremos saber o valor de r que minimiza a área, logo temos que derivar A em relação a r e igualar a 0 . Assim como fazemos para encontrar os pontos críticos de uma função.

A ' r = d 16000 r + 4 3 π r 2 d r

Lembrando que a derivada da soma é igual a soma das derivadas, então

A ' r = d 16000 r d r + d 4 3 π r 2 d r

Podemos escrever 16000 r como 16000 r - 1 , derivando como um polinômio. Multiplicando a variável pela potência e subtraindo 1 do expoente, temos

d 16000 r - 1 d r = - 1 · 16000 r - 1 - 1 = - 16000 r - 2

Seguindo a mesma ideia a derivada de 4 3 π r 2 é

d 4 3 π r 2 d r = 2 · 4 3 π r 2 - 1 = 8 3 π r

Substituindo esses resultados em A ' r , temos

A ' r = - 16000 r - 2 + 8 3 π r

Alguma novidade até aqui?

Passo 4

Vamos igualar nossa derivada a 0 e obter a solução

- 16000 r - 2 + 8 3 π r = 0

8 3 π r = 16000 r - 2

r 3 = 3 · 16000 8 π

Simplificando o resultado, temos

r 3 = 6000 π

r = 10 6 π 3

Substituindo esse valor na equação de h , temos

h = 8000 π 10 6 π 3 2 - 4 3 10 6 π 3

h = 0

Com isso, encontramos que os valores de r e h para construir esse cilindro com a menor área possível é se o raio for 10 6 π 3 e a altura 0 . Ou seja, deve ser uma esfera e não um cilindro!

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

r = 10 6 π 3

h = 0

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