7. O limite

lim h → 0 ⁡ 1 + h 99 - 1 h

É igual à f ' a para alguma função f : R → R e algum a ∈   R . Então:

  f x = x 100 ,   a = 0   e   f ' 1 = 99

  f x = x 99 ,   a = 1   e   f ' 1 = 99

  f x = x 98 ,   a = 1   e   f ' 1 = 98

  f x = 100 x ,   a = 99   e   f ' 99 = 100

  f x = x 100 ,   a = 0   e   f ' 1 = 98

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Vamos começar essa questão resolvendo esse limite

lim h → 0 ⁡ 1 + h 99 - 1 h

Note que ele será igual a indeterminação do tipo 0 / 0 . Então bora aplicar L’Hopital e sair dessa interminação!

Passo 2

Aplicando L’Hospital, temos que derivar em cima e embaixo a nossa função.

Derivando o numerador,

y = 1 + h 99 - 1 → y ' = 99 1 + h 98

Agora vamos derivar o denominador

y = h → y ' = 1

Com isso temos que,

lim h → 0 ⁡ 1 + h 99 - 1 h = lim h → 0 ⁡ 99 1 + h 98 1

Calculando o limite

lim h → 0 ⁡ 99 1 + h 98 1 = 99

Logo, pelo enunciado, temos que

f ' a = 99

Agora precisamos descobrir quem é a .

Passo 3

Para descobrirmos quem é a , temos que olhar quais das opções possuem uma derivada igual a 99 . Com isso, ficamos com duas opções

  f x = x 100 ,   a = 0   e   f ' 1 = 99

  f x = x 99 ,   a = 1   e   f ' 1 = 99

Mas repara que a primeira é falsa, de acordo com a nossa igualdade. Pois, se a = 0 e f ' 1 = 99 e temos que f ' a = 99 , teríamos que 1 = 0 , ou nossa f x = 99 . E isso não pode acontecer. Logo só temos uma opção viável que é

f x = x 99 ,   a = 1   e   f ' 1 = 99

Prontinho!

Resposta

f x = x 99 ,   a = 1   e   f ' 1 = 99

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