UFSC – Cálculo 1 – Lista 2.2 – Questão C2
Mostre que a função
não é diferenciável em
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem?
Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Bora lá?
O problema deu essa função aqui
E pediu para mostrarmos que ela não é diferenciável em
Mas você se lembra quais são os critérios que uma função precisa cumprir para que ela seja diferenciável em um determinado ponto ?
Como recordar é viver...
A função é uma função diferenciável quando ela puder ser diferenciada nesse ponto! Ou seja, quando pudermos derivar!
Então o que podemos dizer mais sobre a diferenciabilidade? Uma função só é diferenciável se as derivadas laterais (em torno de ) são iguais e diferentes de
Um outro conceito que está super próximo é a continuidade: toda função diferenciável é contínua! A função será contínua em torno de quando os limites laterais dessa função foram iguais entre si e iguais à função no ponto:
E aqui atenção: toda função diferenciável é contínua, mas o inverso não é recíproco! Então minha sugestão é: começar pela continuidade da função! Se ela não for contínua ela já não é diferenciável! Mas se ela for contínua, aí você vai precisar testar as derivadas laterais, beleza?
Mas relaxa!
Vamos fazer passo a passo, juntinhos!
Passo 2
Primeiro vamos testar a continuidade! Nossa função é modular
Então para a função é e para , e para é . Vãos calcular os limites laterais e ver se quando se aproxima de , tanto pela direita, quanto pela esquerda, os resultados são iguais
Tranquilo? Começando pelo limite pela direita
E pela esquerda:
Ok! Mostramos que nossa função é contínua em , mas será que ela é diferenciável?
Passo 3
Agora vamos para as derivadas laterais! Começando pela derivada pela direita:
Beleza? Agora pela esquerda (lembra que pela esquerda a função tem cara diferente!)
Xii! As derivadas laterais são diferentes! Isso significa que, mesmo que nossa função seja contínua, ela não é diferenciável!
Beleza? E é isso! Mostramos que a função em não é diferenciável!
Espero ter ajudado!